课时作业50 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．直线y＝x－和圆x2＋y2－4x＋2y－20＝0( A )A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心C．相离 D．相切解析：将圆的方程配方，得(x－2)2＋(y＋1)2＝25，圆心为(2，－1)，半径r＝5，将(2，－1)代入y＝x－中，得×2－＝－1，故直线过圆心，与圆相交，故选A.2．圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系为( A )A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的圆心为(3,4)，半径为7，圆心距为＝5＝7－2(等于两圆半径的差)，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49的位置关系是内切，故选A.3．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2＋(y－2)2＝4所截得的弦长为( D )A．1 B.C. D．2解析：由题意得直线方程为y＝x，即x－y＝0.圆心(0,2)到直线x－y＝0的距离d＝＝，∴弦长为2＝2，故选D.4．已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( B )A.或－ B.或－C. D.解析：因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.5．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( C )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．6．(多选题)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的值可以是( ABCD )A．－1 B．1C．－3 D．3解析：由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1.7．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( D )A. B．4C. D.解析：两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1,0)，半径为3，圆心(－1,0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2＝.故选D.8．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( AB )A．1 B．2C．3 D．4解析：x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆点C，两切点构成正方形PC＝2即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝≤2，计算得到－2≤k≤2.故答案选AB.二、填空题9．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为2x＋y－3＝0.解析：由题意知，已知圆的圆心坐标为(2，－1)．∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直，且直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴该直径所在直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.10．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，即圆C的半径R＝，故圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.11．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，若两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是3.解析：由题意，直线x－y＋c＝0垂直平分线段AB，则kAB＝＝－1，得m＝5，所以线段AB的中点为(3,1)，所以3－1＋c＝0，则c＝－2，所以m＋c＝3.12．已知直线l：x＋y＝3与圆C：(x－a)2＋(y－5)2＝10交于A，B两点，圆C在点A，B处的切线l1，l2相交于点P，则四边形ACBP的面积为5.解析：由平面几何知识得点P与圆心C的连线PC与直线l垂直，则＝1，解得a＝2，则|PC|＝＝.因为圆心C(2,5)到直线l：x＋y－3＝0的距离d＝＝＝2，所以|AB|＝2＝2，则四边形ACBP的面积为S四边形ACBP＝×2×＝5.三、解答题13．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则＝.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1.设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝＝.因为|MN|＝|AB|＝＝2，而|CM|2＝d2＋2，所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以存在点P，点P的个数为2.15．(多填题)已知直线l：(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0交⊙O：x2＋y2＝25于A，B两点，C为l外一动点，且|AC|＝2|BC|，则|AB|的最小值为6；当|AB|最小时，△ABC面积的最大值为12.解析：由(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0得λ(x＋y－4)＋μ(2x－y－8)＝0，则得所以直线(λ＋2μ)x＋(λ－μ)y－4λ－8μ＝0经过定点M(4,0)，设O为坐标原点，若|AB|最小，则OM⊥AB，此时|AB|＝2＝6.设A(4,3)，B(4，－3)，C(x，y)，由|AC|＝2|BC|，可得＝2，化简得点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y＋5)2＝16，则点C的轨迹是圆心为(4，－5)，半径为4的圆，易知圆心(4，－5)在直线AB上，因而C点到AB的最大距离为4，则△ABC面积的最大值为×6×4＝12.16．已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且⊙H截x轴所得线段的长为2.(1)求⊙H的方程；(2)若存在过点P(a,0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m＝2，n＝1.又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2①，2＋2＝2，即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8②，设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而2－≤|HI|≤2＋，即≤≤3，整理可得2≤a2－4a＋5≤18，解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3,2＋]．。
