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1、江苏省南通市通州区2024届高三数学试题2月联考试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A、B、C、D、2函数在上的图象大致为（ ）A B C D 3设等差数列的前n项和为，且，则( )A9B1
2、2CD4已知，则（ ）A5BC13D5已知，则（ ）ABCD6复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ） ABCD8直三棱柱中，则直线与所成的角的余弦值为（ ）ABCD9已知为等腰直角三角形，为所在平面内一点，且，则（ ）ABCD10空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A这20天中指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占C该市10月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市1
3、0月上旬的空气质量比中旬的空气质量好11将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件12下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )A.BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设，满足约束条件，若的最大值是10，则_.14函数的值域为_15设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为_.16设函数，若在上的最大值为，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为
4、极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离18（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，为其右焦点，且该椭圆的离心率为；（）求椭圆的标准方程；（）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点若，求取值范围19（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所
5、有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：运动达人非运动达人总计男3560女26总计100（1）（i）将列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附：20（12分）已知，证明：（1）；（2）.21（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.22（10分）等差数列中，（1）求的通项公式；（2）设，记为数
6、列前项的和，若，求参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解题分析】设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，得到，进而变形即可求解.【题目详解】由题意，设，则，又由，所以，即函数在R上单调递增，则，即，变形可得.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.2C【解题分析】根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.【题目详解】由可知函
7、数为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当时，排除选项D，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.3A【解题分析】由，可得以及，而，代入即可得到答案.【题目详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.4C【解题分析】先化简复数，再求，最后求即可.【题目详解】解：，故选：C【题目点拨】考查复数的运算，是基础题.5D【解题分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为，所以，
8、所以是减函数，又因为，所以，所以，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，所以，故选D.【题目点拨】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.6C【解题分析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.7C【解题分析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.【题目详解】由已
9、知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.故选C.【题目点拨】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.8A【解题分析】设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.【题目详解】设，延长至，使得，连，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，（或补角）为直线与所成的角，在中，在中，在中，在中，在中，.故选：A.【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.9D【解题分析】以AB,AC分别为x轴和y
10、轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【题目详解】如图建系，则，由，易得，则.故选：D【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10C【解题分析】结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【题目详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由
11、图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【题目点拨】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.11A【解题分析】求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【题目详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，若函数为偶函数，则，解得，当时，.因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求
12、参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.12C【解题分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【题目详解】A中，当时，所以不关于直线对称，则错误；B中，所以在区间上为减函数，则错误；D中，而，则，所以不关于直线对称，则错误；故选：C.【题目点拨】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解题分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.【题目详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示：目标函数可转化为与直线平行，数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，故可得，解
13、得.故答案为：.【题目点拨】本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.14【解题分析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案【题目详解】由题意，可得，令，即，则，当时，当时，即在为增函数，在为减函数，又，故函数的值域为：【题目点拨】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题15【解题分析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极
14、值，即可得到所求最小值【题目详解】解：设点，其中，由，可设，导数为，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1故答案为：1【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题16【解题分析】求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.【题目详解】解：定义域为，在上单调递增，故在上的最大值为故答案为：【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
