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1、第08课 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点)2.了解向量基底的含义.在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量.(难点)1.通过作图引导学生得出平面向量基本定理，培养直观想象素养.2.通过基底的学习，提升直观想象和逻辑推理的核心素养.平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？提示不能.基向量是不共线的，而0与任意向量是共线
2、的.1.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1，e2 B.e1e2,3e13e2 C.e1,5e2 D.e1，e1e22.若a，b不共线，且lamb0(l，mR)，则l_，m_.3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_.对基底的理解【例1】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A. B. C. D.对基底的理解两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底.若向量a，b不共线，则c2ab，d3a2b，试判断c，d能否
3、作为基底.用基底表示向量【例2】(1)D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的中点，且a，b，给出下列结论：ab；ab；ab；a.其中正确的结论的序号为_.(2)如图所示，ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义.(2)模型：平面向量基本定理的唯一性及其应用【例3】如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求.1.任意一向量基
4、底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意
5、向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.1.判断正误(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.()(2)基底中的向量可以是零向量.()(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.()(4)e1，e2是平面内两个不共线向量，若存在实数，使得e1e20，则0.()2.已知平行四边形
6、ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.， B.， C.， D.，3.设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B. C. D.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.1.平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的
7、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示.(3)向量坐标与点的坐标之间的联系在平面直角坐标系中，以原点O为起点作a，设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.2.平面向量的
8、坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)1.已知a(3,5)，b(3,2)，则ab()A.(8，1) B.(0,7) C.(7,0) D.(1,8)2.已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于()A.(2,1) B.(2，1) C.(2,0) D.(4,3)3.已知点A(1，2)，点B(4,0)，则向量_.4.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，
9、45，则向量a的坐标为_.平面向量的坐标表示【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A.(7，4) B.(7,4) C.(1,
10、4) D.(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab的坐标.平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求，的坐标.平面向量坐标运算的应用【例3】已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且，则顶点D的坐标为()A.(2，) B.(2，) C.(4,5) D.(1,3)在平面几何问题中，可
11、以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解.3.已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.如图所示.2.向量的坐标和其终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同.3.在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.1.判断正误(1)相等向量的坐标相同.()(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标.()(3)一个坐标对应于唯一的一个向量.()(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的
12、向量一一对应.()2.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则的坐标是()A.(1，2) B.(7,6) C.(5,0) D.(11,8)3.已知点A(1，2)，B(4,3)，则的坐标为()A.(3,1) B.(5，5) C.(5,5) D.(5,5)4.已知A(2，3)，(3，2)，则点B的坐标为()A.(5,5) B.(5，5) C.(1,1) D.(1,1)5.(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，；(2)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab的坐标.6.3.4平面向量数乘运算的坐标
13、表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握两数乘向量的坐标运算法则.(重点)2.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点)3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法.(重点)4.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点)1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养.2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.1.数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a(x，y)，则a(x，y)(x，y).(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.平面向量共线的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线的充要条件是存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，向量a，b(b0)共线的充要条件是x1y2x2y10.思考：两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的
