《数学归纳法》第一课时教学设计

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1、 数学归纳法第一课时教学设计第一篇：数学归纳法第一课时教学设计 数学归纳法第一课时教学设计教材分析：本节课是人教A版4-5第四讲第一节数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法证明一些与正整数有关的实际问题。它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是促进学生从有限思维发展到无限思维，并培养学生严密的推理能力和抽象思维能力的重要载体。学情分析：由于此前数列和推理与证明两部分的学习，使学生对归纳推理有了一定的认知。教学目标：知识与技能目标：1.了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质，认清“奠基”和“递推”两者缺一不可。2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳

2、法证明一些简单的命题。过程与方法目标：1.亲身感悟数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其由无限问题化为有限问题这一转化的数学思想。2.精心创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。情感态度与价值观目标：1.通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和数学思维品质。2.认识有限与无限的辩证关系。教学重点：数学归纳法产生过程的分析及其适用范围，掌握数学归纳法证题的基本步骤。教学难点：认识数学归纳法的证明思路，对数学归纳法中递推思想的理解。教具准备：传统板书与多媒体辅助教学相结合。教学过程：一、情景设置问 题1:通过计算下面的式子，你能猜想出-1+3-

3、5+(-1)n(2n-1)的结果吗？证明你的结论。-1+3=-1+3-5=-1+3-5+7=-1+3-5+7-9=问 题2：多米诺骨牌是怎样全部倒下的？二、探究新知问 题1中，要 证 明 等 式 在n为正整数时都成立，虽然可以验证n=1,2,3,4.甚 至10000000时 等 式()成立，但是正整数有无限多个，我们无法对它们验 证，所以，通过验证是无法完成证明的。下面我们先来看 看 多 米 诺 骨 牌 的 视 频(多媒体播放视频材料)，讨 论 问 题2。如果不推倒起始的第一张骨牌，而从其后的第二张或某一张开始推倒，那么其前面的骨牌会倒吗？如果因为抽去中间的某一张或某一张牌摆放不标准等原因，使

4、得此处前一张骨牌倒下后不能碰倒下一张，那么骨牌会全部倒下吗？显然，以上的情况都不能使得全部骨牌倒下，可见让所有的多米诺骨牌全部倒下，应具备如下条件：条件一：第一张骨牌倒下。条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。其中条件一是前提、是基础，条件二是持续递推的保障，二者缺一不可。通过以上合作交流，师生共同探究得到解决问题的方法：第一块骨牌倒下相当于证明当n=1时，等 式（）成立；对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，相当于当n=k时，等式（）成立，推出当n=k+1时 等 式（）也成立。可以建立一种像多米诺骨牌那样的“由前到后”的递推关系，即由n=1时等式（）成立为起点，递推出n=

5、2时 等 式（）成立;再 由n=2时等式（）成立，递推出n=3时等式（）成立.依次自动递推下去，就可以说，对于任意正整数n,等 式（）成立。按照上述思路可具体证明等式（）成立。证明：（1）当n=1时，式（）左右两边都等于T,即这时等 式（）成立。假设当n=k（k21）时 等 式（）成立，即-1+3-5+（-1）k（2k-1）=（-1）kk当 n-k+1 时，左边=-1+3-5+(-1)k(2k-1)+(-1)k+12(k+1)-1二(-1)kk+(-1)k+1 2(k+1)-1=(-1)k+1-k+2(k+1)-1=(-1)k+1(k+1)=右边所 以 当n=k+1时 等 式()成立。由(1)

6、(2)可知，-1+3-5+(-1)n(2n-1)=(-1)n n(n GN+)三、明确概念(板 书)“数学归纳法”一般地，证明一个命题对于不小于某正整数nO的所有正整数n都成立时，可按下列步骤进行：(1)(归 纳 奠 基)证 明 当n取 第 一 个 值nO(nOGN+)时命题成立。(2)(归 纳 递 推)假 设n=k(kN+,且k n O)时命题成立,证 明 当n=k+1时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从nO开始的所有正 整 数n都成立。上述方法叫做数学归纳法。应用数学归纳法要注意以下几点：(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的。(2)第二步是

7、证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法。(3)nO不 一 定 取1,也可取其它一些正整数，nO是使命题成立的最小正整数。(4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。四、巩固应用用数学归纳法证明：(1)12+22+.+n2=(nN+)(2)当 n 为 正 整 数 时,1+3+5+-+(2n-1)=n2五、回顾总结1.本节课学到了什么？2.这些知识是怎样得出的？3.你有什么体会与感悟？(责 任 编 辑 史 玉 英)第二篇：“数学归纳法”(第一课时)教学设计(修改稿)“数学归纳法”(第 一 课 时)教 学 设 计(修 改 稿)浙江省衢州高级中学何豪明一、内容和内容解析

8、“数学归纳法”是 人 教A版 普通高中课程标准实验教科书数 学（选 修2-2）中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推 理，证明取所有正整数都成立的命题的证明.在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用.应用数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法）证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证 明 当 取 第 一 个 值（2）（归纳递推）假设当命题也成立；根 据（1）和（2）,可知命题对于从开始的所有正整数都成立.是正整数的一是全体正时命题成

9、立；时命题成立，证明当时 数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设个子集，且它具有下列性质：整数的集合，即使;若,则.那么）也叫做归纳公理.设是一个与正整数有关的命题，我们把对于所有正整数都成立，只（数学归纳法中的第一步，则（数学归纳法，从而证明了成立的所有正整数组成的集合记为，如 果 要 证 明 要 证 明 即 可.为 此，根据归纳公理，首先证明“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）.这样即可得到命题对于一切正整数都成立.不难看出归纳公理是数学归纳法的理论 根 据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳

10、法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当出当时命题成立，利用这个假设，如果能推，时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数”，命题都成立.也就是说，当时命题成立，可以推时命题成立，可以推出出时命题成立，当时命题成立，.即命题真命题真命题.因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立.真命题真数学归纳法的思维模式是：“观察归纳猜想证 明”.数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运 用 它 证 明 一 些 与 正 整 数（取无限多个值）有关的数学命题.二、目标和目标解析本节课的目标是:1.借助具体实例归纳出数学归纳法的基

11、本原理、步骤；2.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题.数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要 分“两个步骤和一个结论”.其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它 不 一 定 是1,可 以 是2,或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性.把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立.因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总 的 结 论.否 则，还 不 能 算 是 已 经 证 明 完 毕.所 以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程

12、应该是“两个步歌和一个结论”.应 用 类 比 的 方 法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将 一 块“骨 牌”对 应 一 个“命题”，某 块 骨 牌“倒下”对 应 某 个 命 题“成立”，从而培养学生的类比推理能力.三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证 明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设.如果不会运用“假设当命题成立”这一条件，直接将时，代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明.为突破以上

13、教学难点，课堂教学中两条线索交替进行.一条是主线：”提出问题分析问题解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则根据学号提问，并依次从小号到大号”.在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1,就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样.若是2 号，则下一个被提问的学生一定是3 号.另外，设计命题：已知时，命题成立，求证：时命题成立.从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点.四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5 中学习了不完全归纳法（推导等差、等比数列的通项公式）；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”.这些内容的

14、学习是学生理解推理思想和证明方法的重要 基 础.因 此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质.利 用fla s h软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理 解“归纳奠基”和“归纳递推”，知 道 只 有 把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤.另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果.五、教 学 过 程 设 计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项此推测计算,且的公式，并给出证明.,计算由分析：逐 一 验 证 是 不 可 能 的.那 么，我们应

15、该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的 问 题.引 出 课 题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法数学归纳法”.【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察归纳猜想证明”.2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1:摆放好多米诺骨牌，推倒第1 块骨牌，观察发

16、生的结果？思考游戏2：摆放好多米诺骨牌，推倒第2 块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第 1 块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3：摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走,因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性.问题1:为什么会有这些结果的发生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问 题2：从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在 类 比 的 过 程 中 学 习 数 学 归 纳 法.分 析1:根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值（，例如二1或）时，命 题 成 立.分 析2:根 据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设明当时命题也成立.时命题成立，证 分 析3：从 完 成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即 由（1）,（2）可知，