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1、第三章：数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1设z为实数时，实数a的值是（ A ）A.3 B.5C.3或5 D.3或52设关于的方程,若方程有实数根，则锐角和实数根_.解：，3设复数，试求m取何值时（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限解：。 Z对应的点位于复平面的第一象限。练习:一选择题： 1复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四个顶点对应的复数是（ ）（A） （B） （C） （D）2若复数(m23m4)(m25m6)是虚数，则实数m满足（ ）（A）m1 （B）m6 (C) m1或m
2、6 (D) m1且m6 3下列命题中，假命题是( )（A）两个复数不可以比较大小 （ B）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二填空题：4复数不是纯虚数，则有_.5已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 三解答题：6已知复数，满足，且为纯虚数，求证： 为实数。7已知关于的方程组有实数，求的值。 3.1.2复数的几何意义典型例题：1. 若复数z满足，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是（ C ） A. 圆B. 线段 C. 焦点在虚轴上的椭圆D. 焦点在实轴上的椭圆2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是_(圆) 3. 设
3、满足条件的复数所对应的点的集合表示什么图形?练习:一选择题： 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ） 3. 复数不是纯虚数，则有（ ） 二填空题：4. 设，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为 。 5. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 三解答题：6. 设R，若z对应的点在直线上。求m的值。 7. 已知两个向量对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量与的夹角。 3.1复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算
4、及其几何意义典型例题:1若复数z满足，则的最小值为（ D ） A. 1B. 2C. 3D. 42已知正方形ABCD的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（2，1），C（1，2），则D点的坐标_. 解：, 而表示的复数为, 即表示的复数为 又, 表示的复数为 ，3 解：，练习:一选择题：1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 设复数=（ ）ABCD3. 两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z10，z20），对应的向量在同一直线上的充要条件是（ ）ABCD二填空题：4. 向量对应的复数是5-4i
5、，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是_。 5. 如果复数满足,则的最大值是 三解答题：6. 已知为复数，若关于的方程有解，求实数的取值范围.7. 已知关于x的方程有实根，求的最小值。 3.2.2复数代数形式的乘除运算典型例题: 1. “”是“”的（ A ）条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要2. 计算：_解:原式3. 解法一： ， ， 。 解法二：， ， ， ， ，。 练习:一选择题：1. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1D. 2. 若，则z对应的点的轨迹是（ ） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线3. 复数，且，则是（ ） A. 实数B
6、. 纯虚数C. 非纯虚数D. 复数二填空题：4. _. 5. 在复数集内分解因式：_ 三解答题：6. 7. 第三章：数系的扩充与复数的引入测试题一、选择题:1. 设为复数，则“”是“”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件2. 已知，则的值为 （ ）(A)-1 (B)4 (C)0 (D)23. 已知，则的关系是（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ） 5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ） 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ）
7、 A. B. C. 1D. 8. 若，则z对应的点的轨迹是（ ） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线9. 在复平面内，复数(1i)2对应的点位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限10. 设复数z满足 （ ） （A）0（B）1（C）（D）2二、填空题:11. 设、为实数，且，则+=_.12. 已知复数复数满足则复数=_.13. 若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 14. 已知虚数()的模为,则的最大值是 ，的最小值为 .三、解答题:15. 16. 17. 18. 若复数z满足，求证：19. 若复数z满足，求的最大、最小值。20. 设是关于的方程的两
8、个根，求的值. 参考答案3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.C 2.3.A 4.a0且a2 5. 6. 7. a=1, b=23.1.2复数的几何意义1. D 2.B 3.C 4. 5. 6. m=2 7. =3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1.D 2.C 3.D 4.0 5. 6. 当； 当，；当，可得.7. 解：设是方程的实根，则 当且仅当，即时，|z|取最小值3.2.2复数代数形式的乘除运算1.D 2.A 3.B 4. i 5. 6. ； 7， 第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案ABDDD6C 7. D 8. A 9.B 10.C 11.4 12. 13. 14 1
9、5. 证明：充分性： , ,。 必要性： ，。 16. 解： ，17. 方法一：，（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。） 方法二：， 方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题） ， 而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离， 由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。 注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。18. 证明：设 ， ， 19. 解法一：数形结合法 设，则， 化简，得，。 表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上。 由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。 解法二：利用复数的模的性质 ，即，去绝对值，得 解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号 由，把代入得，解得或 当时，取最大值； 当时，取最小值。20. ， （1）当，即时，方程有两个实根：， (a)当时，=2； (b)当时，=； （2）当，即时，方程有两个共轭虚根：， =. 综上所述：=.
