《数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.4 4 圆的方程圆的方程2.2.4 4.1 1 圆的标准方程圆的标准方程问题2.在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？问题问题1.1.圆的定义是什么圆的定义是什么？圆心坐标，半径确定一个圆平面上到定点的距离等于定长的点的集合平面上到定点的距离等于定长的点的集合.问题问题3.3.已知已知圆心为圆心为A(a,b),A(a,b),半径为半径为r r你能推导出圆的方程吗你能推导出圆的方程吗？AMOxyr设设M(x,y)M(x,y)为圆上任意一点为圆上任意一点满足满足|AM|=r两边同时平方，得两边同时平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2追问.是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐
2、标的点都在圆上？一、圆的标准方程 圆心为圆心为A(a,b)，半径为，半径为 r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2追问.圆心为原点，半径为 r 的圆的标准方程是什么？x 2+y 2=r2问题4.求圆的标准方程圆的标准方程需要几个条件？三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.练习1.说出下列圆的圆心及半径（5）(x a)2+y 2=m2 练习2.写出下列圆的方程(2)x 2+y 2=9(3)(x 3)2+(y+4)2=49（4 4）(x x+8)+8)2 2+(+(y y-3)-3)2 2=25=25例例1 1.求圆心为求圆心为A A(2(2,-3)-3)，半径为
3、，半径为5 5的圆的标准方程，并判断点的圆的标准方程，并判断点M M1 1(5(5,-7)-7)，M M2 2(-2(-2,-1)-1)是否在这个圆上是否在这个圆上.解解:圆心为圆心为A(2,-3)A(2,-3)，半径为，半径为5 5的圆的标准方程是的圆的标准方程是(x x-2)-2)2 2+(+(y y+3)+3)2 2=25=25把点把点M M1 1(5,-7)(5,-7)的坐标代入方程的坐标代入方程(x x-2)-2)2 2+(+(y y+3)+3)2 2=25=25的左边，的左边，得得(5-2)(5-2)2 2+(-7+3)+(-7+3)2 2=25=25，等式成立，所以点，等式成立，
4、所以点M M1 1在这个圆上在这个圆上.把点把点M M2 2(-2,-1)(-2,-1)的坐标代入方程的坐标代入方程(x-x-2)2)2 2+(+(y y+3)+3)2 2=25=25的左边，的左边，得得(-2-2)(-2-2)2 2+(-1+3)+(-1+3)2 22525，等式不成立，所以点，等式不成立，所以点M M1 1不在这个圆上不在这个圆上.例例1.1.求圆心为求圆心为A A(2(2,-3)-3)，半径为，半径为5 5的圆的标准方程，并判断点的圆的标准方程，并判断点M M1 1(5(5,-7)-7)，M M2 2(-2(-2,-1)-1)是否在这个圆上是否在这个圆上.追问.M2(-2
5、,-1)在圆内还是在圆外？所以M2(-2,-1)在圆内。问题5.点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？(x0-a)2+(y0-b)2r2CM0在在圆内内CM0在在圆上上CM0在在圆外外练习练习3.3.已知圆的标准方程是已知圆的标准方程是(x x-3)-3)2 2+(+(y y+2)+2)2 2=16=16，判断下列各点在，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内圆上、圆外，还是在圆内.(1)M(1)M1 1(4,-5)(4,-5)(2)M(2)M2 2(6,1)(6,1)(3)M(3)M3 3(3,-6).(
6、3,-6).解解:(1)M:(1)M1 1代入圆的方程，代入圆的方程，(4-3)(4-3)2 2+(+(-5+2)5+2)2 2161616，所以点，所以点M M1 1在圆外；在圆外；(1)M(1)M3 3代入圆的方程，代入圆的方程，(3-3)(3-3)2 2+(+(-6+2)6+2)2 2=16=16，所以点，所以点M M1 1在圆上在圆上.例例2.2.ABCABC的三个顶点分别是的三个顶点分别是A A(5(5,1)1)，B B(7(7,-3)-3)，C C(2(2,-8)-8)，求求ABCABC的外接圆的标准方程的外接圆的标准方程.例例2.2.ABCABC的三个顶点分别是的三个顶点分别是A
7、 A(5(5,1)1)，B B(7(7,-3)-3)，C C(2(2,-8)-8)，求求ABCABC的外接圆的标准方程的外接圆的标准方程.例例3.3.已知圆心为已知圆心为C C的圆经过的圆经过A A(1(1,1)1)，B B(2(2,-2)-2)两点，且圆心两点，且圆心C C在直在直线线l l：x x-y y+1=0+1=0上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程.例例3.3.已知圆心为已知圆心为C C的圆经过的圆经过A A(1(1,1)1)，B B(2(2,-2)-2)两点，且圆心两点，且圆心C C在直在直线线l l：x x-y y+1=0+1=0上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程.圆
8、的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:设设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;列由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;解解方程组,求出a,b,r;代将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.练习4.已知AOB的三个顶点分别是A(4,0),O(0,0),B(0,3),求AOB的外接圆的标准方程.解:设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2
9、（1）因为A(4,0),O(0,0),B(0,3)三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程（1）,于是即即解此方程组，得解此方程组，得所以,AOB的外接圆的标准方程是 代入代入(0-a)2+(0-b)2=r 2 ,得到得到 观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去a2,b2,r2得到关于a,b的二元一次方程组即圆心C的坐标是 ,所以,AOB的外接圆的标准方程是 解法2：由A,O 两点的坐标为(4,0),(0,0)可得线段AO的垂直平分线l1的方程是x=2,圆的半径是 同理可得，BO线段的垂直平分线l2的方程是y=3/2,所以圆心C的坐标是l1与l2的交点坐标.练习4.已知AOB的三个顶点
10、分别是A(4,0),O(0,0),B(0,3),求AOB的外接圆的标准方程.设所求圆的标准方程设所求圆的标准方程(xa)2(yb)2r2；2、圆的标准方程圆的标准方程的求法的求法(1)用待定系数法，用待定系数法，一般步骤如下：一般步骤如下：(2)利用圆的几何性质利用圆的几何性质，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程入标准式写方程1、圆的标准方程、圆的标准方程根据已知条件，建立关于根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；的方程组；解方程组，求出解方程组，求出a，b，r的值；的值；将将a，b，r的值代入方程，即为所求圆的方程的值代入方程，即为所求圆的方程课堂小结课堂小结
