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1、第一章质点运动学1 -1分 析 与 解（1）质 点 在t至（t+1:）时间内沿曲线从P点 运 动 到P点，各量关系如图所示，其中路程As=P P ,位 移 大 小I h r I =P P,而=I r|-|r|表示质点位矢大小的变化量，三个量的物理含义不同，在曲线运动中大小也不相等（注：在直线运动中有相等的可能）.但 当A t T O时，点P，无限趋 近P点，则 有I dr|=ds,但却不等于dr.故选（B）.由 于I r|芋 s,故，即|手.但 由 于|dr I =ds,故，即I I =.由此可见，应选（C）.1-2分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，在极坐标系中叫径向速率.通常
2、用符号vr表示，这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 计算，在直角坐标系中则可由公式 求 解.故 选（D）.1-3 分析与解 表示切向加速度a t,它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度方向的一个分量，起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr（如 题1 -2所述）；在自然坐标系中表示质点的速率v;而 表示加速度的大小而不是切向加速度at.因此只有（3）式表达是正确的.故选（D）.1 -4分析与解 加速度的切向分量a t起改变速度大小的作用，而法向分量an起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时，由于速度方向不断改变，相应法向加速度的
3、方向也在不断改变，因而法向加速度是一定改变的.至于a t是否改变，则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时，a t恒为零；质点作匀变速率圆周运动时，a t为一不为零的恒量，当a t改变时，质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见，应选（B）.1-5 分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式，进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系，设定滑轮距水面高度为h.t时刻定滑轮距小船的绳长为I,则小船的运动方程为，其中绳长 随时间t而 变 化.小 船 速 度，式中表示 绳 长I随时间的变化率，其大小即为vO,代入整理后为，方向沿x轴负向.由速度表达式，可判断小船作变加速运动.故选(C).16分析
4、位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时，位移的大小才会与路程相等.质点在t时间内的位移A x的大小可直接由运动方程得到：，而在求路程时，就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向，此时，位移的大小和路程就不同了.为此，需根据 来确定其运动方向改变的时刻t p，求 出0 t p和t p t内的位移大小 x 1、x2,则t时间内 的 路 程，如图所示，至 于t=4.0 s时质点速度和加速度可用 和 两式计算.解(1)质点在4.0 s内位移的大小(2)由得知质点的换向时刻为(t=0不合题意)则，所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为(3)t=4.0 s 时，17分
5、析 根据加速度的定义可知，在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、C D段斜率为定值，即匀变速直线运动；而线段B C的斜率为0,加速度为零，即匀速直线运动).加速度为恒量，在a-t图上是平行于t轴的直线，由v-t图中求出各段的斜率，即可作出a-t图线.又由速度的定义可知，x-t曲线的斜率为速度的大小.因此，匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线，而匀变速直线运动所对应的x-t图为t的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x=x(t),求出不同时刻t的位置x,采用描数据点的方法，可作出x-t图.解 将曲线分为AB、BC、C D三个过程，它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动)，(匀速
6、直线运动)(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t图 图(B).在匀变速直线运动中，有由此，可计算在0 2 s和46 s时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法，由表中数据可作0 2 s和4 6 s时间内的x-t图.在2 4 s时间内，质点是作 的匀速直线运动，其x-t图是斜率k=2 0的一段直线 图 .1 1 8分析 质点的轨迹方程为y=f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t即可得到.对于r、A s来说,物理含义不同，可根据其定 义 计 算.其 中 对s的求解用到积分方法，先在轨迹上任取一段微元ds,则，最后 用 积 分 求S .解(1)由x(t)和y
7、(t)中 消 去t后 得 质 点 轨迹方程为，这 是 一 个 抛物线方程，轨 迹 如 图(a)所示.(2)将t=0 5和1:=2 s分 别 代 入运动方程，可得相应位矢分别为图(a)中 的P、Q两点，即 为t=0 s和t=2 s时质点所在位置.(3)由位移表达式，得其中位移大小而径向增量*(4)如 图(B)所示，所 求A s即 为 图 中PQ段 长 度，先 在 其 间 任 意 处 取A B微 元ds,则，由 轨 道 方 程 可 得，代 入ds,则2 s内路程为19分析 由 运 动 方 程 的 分量式可分别求出速度、加 速 度 的 分 量，再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.解(1)速度的
8、分量式为当 t=0 时，vox=-10 m?6?1 s-1,voy=15 m?6?1 s-1,则初速度大小为设vo与x轴 的 夹 角 为a,则a=123 417(2)力口速度的分量式为则加速度的大小为设a与x轴 的 夹 角 为B,则,(3=-33 4 1(或 326 19)1-10分 析 在 升 降 机 与 螺 丝 之 间 有 相 对 运 动 的 情 况 下，一 种 处 理 方 法 是 取 地面为参考系，分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由 落 体 运 动，列 出 这 两 种 运 动 在 同 一 坐 标 系 中 的 运 动 方 程y1=y1(t)和y2=y2(t),并
9、考 虑它们相遇，即位矢相同这一条件，问 题 即 可 解；另一种方法是取升降机(或 螺 丝)为 参 考 系，这 时，螺 丝(或 升 降 机)相 对 它 作 匀 加 速 运 动，但 是，此加速度 应 该 是 相 对 加 速 度.升 降 机 厢 的 高 度 就 是 螺 丝(或 升 降 机)运 动 的 路 程.解1 以 地 面 为 参 考 系，取 如 图 所 示 的 坐 标 系，升 降 机 与 螺 丝 的 运 动 方 程 分别为当螺丝落至底面时，有y1=y 2,即(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小a=g+a,螺丝落至底面时,有(2)由于升
10、降机在t时间内上升的高度为则1 -1 1分析 该题属于运动学的第一类问题，即已知运动方程r =r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时，若取以点(0,3)为原点的0 x y坐标系，并 采 用 参 数 方 程x =x (t)和y =y (t)来表示圆周运动是比较方便的.然后，运用坐标变换x =x 0 +x，和y =y 0 +y将所得参数方程转换至O x y坐标系中，即得O x y坐标系中质点P在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.解(1)如 图 所 示，在 5 x v 坐标系中，因，则质点P的参数方程为坐标变换后，在O x y坐标系中
11、有则质点P的位矢方程为(2)5 s时的速度和加速度分别为1-12 分析为求杆顶在地面上影 子速度的大小，必须建立影长与时间的函数关系，即影子端点的位矢方程.根据几何关系，影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性，太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样，影子端点的位矢方程和速度均可求得.解设太阳光线对地转动的角速度为3,从正午时分开始计时，则杆的影长为S =ht g3 t,下午2：00时，杆顶在地面上影子的速度大小为当杆长等于影长时，即s =h，则即为下午3 ：00时.1-13 分析 本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用积分方法
12、解决.由 和 可得 和.如2 =2代)或V =V(t),则可两边直接积分.如果a或v不是时间t的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分.解 由 分 析 知，应有得(1)由得(2)将 t =3 s 时，x=9 m,v=2 m?6?1 s-1 代入(1)(2)得 v0=-1 m?6?1 s-1,x 0=0.7 5 m.于是可得质点运动方程为1 -14 分析 本题亦属于运动学第二类问题，与上题不同之处在于加速度是速度v的函数，因此，需将式dv=a(v)dt分离变量为后再两边积分.解 选取石子下落方向为y轴正向，下落起点为坐标原点.(1)由 题 意 知 用分离变量法把式(1)改写为
13、(2)将式两边积分并考虑初始条件，有得石子速度由此可知当，t T 8时，为一常量，通常称为极限速度或收尾速度.(2)再由并考虑初始条件有得石子运动方程1-15 分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的两个分量a x和a y分别积分，从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y仕).由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即 和，两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.解 由加速度定义式，根据初始条件tO=0时vO=0,积分可得又由 及初始条件t=0时，r0=(10 m)i,积分可得由上述结果可得质点运动方程的分量式，即x
14、=10+3t2 y=2t2消去参数t,可得运动的轨迹方程3y=2x-20 m这是一个直线方程.直线斜率，a=33 41z.轨迹如图所示.1-16分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同，它们分别表示为 和.在匀速率圆周运动中，它们的大小分别为，式 中I Av|可由图(B)中的几何关系得到，而A t可由转过的角度 6求出.由计算结果能清楚地看到两者之间的关系，即瞬时加速度是平均加速度在 t T O时的极限值.解 由 图(b)可看到Av=v2-v 1，故而所以(2)将 e=9 0,30 ,10 ,1分别代入上式，得，以上结果表明，当 6 T 0时，匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即
15、为法向加 速 度.1 -1 7分析 根据运动方程可直接写出其分量式x=x(t)和y=y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即，它与时间间隔A t的大小有关，当 t T O时，平均速度的极限即瞬时速度.切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a t和an,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率，即，后者只反映质点速度方向的变化，它可由总加速度a和a t得到.在 求 得t 1时刻质点的速度和法向加速度的大小后，可由公式 求P.解(1)由参数方程 x=2.Ot,y=19.0-2.0t2消 去t得质点的轨迹方程：y=19.0-0.50 x2(2)在
16、t1=1.0 0 s到t2=2.0 s时间内的平均速度(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为则t1=1.00 s时的速度v(t)|t=1 s=2.0i-4.Oj切向和法向加速度分别为(4)t=1.0$质点的速度大小为则1-18分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下，由运动独立性原理知，物品在空中沿水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时，两方向上运动时间是相同的.因此，分别列出其运动方程，运用时间相等的条件，即可求解.此外，平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度，只需求出该时刻它们与重力如速度之间的夹角a或B.由图可知，在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角a,可由此时刻的两速度分量v x、vy求出，这样，也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得.解(1)取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x=vt,y=1/2 gt2飞机水平飞行速度v=100 m?6?1s-1，飞机离地面的高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离(2)视线和水平线的夹南为(3)在
