《高三数学备考冲刺140分问题34椭圆双曲线抛物线与圆相结合问题含解析43》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题34椭圆双曲线抛物线与圆相结合问题含解析43（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 问题问题 3434 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题 一、考情分析 通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享 1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2.垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形
2、式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成 y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展三、知识拓展 以 MN 为直径的圆经过点 P，则，可转化为 四、题型分析四、题型分析(一一)圆与椭圆的结合点圆与椭圆的结合点 1.1.1 1 圆的几何性质与椭圆相联系圆的几何性质与椭圆相联系【例 1】【2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆：的圆心 （1）求椭圆的标准方程；（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、试推断是否PMPN0PM PN C22E22
3、(1)1xyCCyPEyMN2 存在点,使？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由【分析】(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意,设点（）,利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.【解析】（1）设椭圆方程,半焦距为,因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则,因为椭圆的离心率为,则,即,从而,故椭圆的方程为（2）设点（）,则直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离为 1,即,即,即,同理 由此可知,为方程的两个实根,所以,P14|3MN P,a c222bacP0
4、0(,)P xy00 x(0,)Mm(0,)NnPM(1,0)EPM1mPnP,mn mnMNP22221(0)xyababcE1c 2222ca22ac2221bacC2212xy00(,)P xy00 x(0,)Mm(0,)NnPM00ymyxmx000()0ym xx ymx(1,0)EPM002200|1()ymx mymx22200000()()2()ymxymx m ym220 x m2000(2)20 xmy mx2000(2)20 xny nxmn2000(2)20 xxy xx0022ymnx 002xmnx 2|()4MNmnmnmn20020044(2)2yxxx2200
5、02044(2)xyxx3 因为点在椭圆上,则,即,则,令,则,因为,则,即,故存在点满足题设条件【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题【小试牛刀】已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（I）；（II）不存在,理由见解析.【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以.所以的方程为.（II）设点,
6、设直线的方程为,00(,)P xyC220012xy220012xy 2200022002842(2)4|(2)(2)xxxMNxx2042(2)x204142(2)3x20(2)9x 00 x 01x 220012xy 12022y 2(1,)2P 2222:10 xyWabab32A22:16O xyWPWAAPOQP3PQAPP221164xyWA22:16O xy0y 4x 4a 3232cea2 3c 2224bacW221164xy11,P x y22,Q xyAP4yk x4 与椭圆方程联立得,化简得到,因为-4 为方程的一个根,所以,所以 所以 因为圆心到直线的距离为,所以.因
7、为,代入得到,显然,所以不存在直线,使得.1.21.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系【例 2】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆C2224xyCOACB2y OAOBAB2241164yk xxy2222143264160kxk xk21232414kxk 2124 1614kxk228 114kAPkAP2414kdk2221682 16211AQdkk1PQAQAPAQAPAPAP222222228143311131118 114PQkkkAPkkkkk 23331kAP3PQAP5 的
8、位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆：化为标准方程,确定,利用求得离心率；（2）设点,其中,由,即,用、表示,当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线与圆的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为,所以,从而,所以.（2）直线与圆相切,证明如下：设点,其中,因为,所以,即,解得,当时,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切.当时,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,又,故.故此直线与圆相切.【小试牛刀】已知椭圆过点,且离心率 222xyC2224xy2a2bace),(00yxA)2,(tB00 xOBOA0OBOA0 x0yttx 0tx
9、 0AB222xyC12422yx42a22b224222bac22aceAB222 yx),(00yxA)2,(tB00 xOBOA0OBOA0200 ytx002xyttx 0220tyC2tAB222 yxtx 0AB)(2200txtxyy02)()2(0000tyxytxxyAB202000)()2(|2|txytyxd422020yx002xyt22168|4|4|22|202040020202020200200 xxxxxxyyxxyxdAB222 yx2222:10 xyEabab0,222e 6 (1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关
10、系,并说明理由【解析】解法一解法一：（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为（2）设点,的中点为由,得,所以,从而,所以,故,所以 E:1l xmymREA B94G,0AB222222bcaabc222abcE22142xy11,A x y22,B xyAB00,H xy221142xmyxy222230mymy12222myym12232y ym 022mym222222200000095525144216GHxymyymymy24AB2222121212144myyxxyy221212144myyy y220121myy y22201252514216ABGHmymy y2222223 1
11、525172021622162mmmmmm2ABGH 7 故点在以为直径的圆外 解法二解法二：（1）同解法一（2）设点,则,由,得,所以,从而,所以又,不共线,所以为锐角 故点在以为直径的圆外 (二二)圆与双曲线的结合点圆与双曲线的结合点 2.12.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题利用圆的性质解决双曲线的相关问题 由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例 3】【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与 轴的左、右交点，直线 过点 且与 轴垂
12、直，点 在直线 上，纵坐标为，若在半圆 上存在点 使，则 的取值范围是（）A B C D 9,04GAB11,A x y22,B xy119,4GAxy 229,4GBxy 221142xmyxy222230mymy12222myym12232y ym 12129944GA GBxxy y 12125544mymyy y212125251416my ym yy22225312522216mmmm221720162mmcos,0GA GB GA GB AGB9,04GAB8【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在 RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上
13、三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，由于BP与x轴垂直，且BPQ，则在 RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值 3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值 2，|t|有最大值，则t取得最小值，t0 时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为，0）；故选：A 【小试牛刀【小试牛刀】【福建省厦门市 2019 届高中毕业班第一次（3 月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的
14、圆过 且交 的左支于两点，若，的面积为 8，则 的渐近线方程为（）A B C D【答案】B【解析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，9 由，得：，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为.故选 B 2.22.2 圆的切线与双曲线相联系圆的切线与双曲线相联系 【例 4】已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点,的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲 线的离心率,则()A.B.C.D.与关系不确定【答案】C【解析】设内切圆在上的切点为,上的切点为,上的切点为,的坐标为,即,延长交于,是角平分线和垂线,是的中点,是的中
15、点,是中位线,.【小试牛刀】已知点、为双曲线：的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线 交双曲线于、两点,中点为,求证：【解析】（1）设的坐标分别为 因为点在双曲线上,所以,即,所以 12222byax12FF、OP21FPFIIxA2FPIBe|OAeOB|OBeOA|OAOB|OA|OB1PFN2PFM12FFAA(m,0)12112(DM MF)AFm(c m)2aPFPFPNNFAFc OAa2BF1PFSPBB2SFO12FFBO1
16、1211(PFPF)a22BOFSOAOBa|OAOB 1F2FC01222bbyx2FxxCM3021FMFO222byxCCP1P2P21PPPP O00y,xQOlCABABM2ABOM 2,F M220(1,0),(1,)bbyMC220211ybb20yb 22MFb10 在中,所以 由双曲线的定义可知：故双曲线的方程为：（2）由条件可知：两条渐近线分别为 设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则 则点到两条渐近线的距离分别为 因为在双曲线：上,所以 又,所以 （3）由题意,即证：.设,切线 的方程为：当时,切线 的方程代入双曲线中,化简得：所以：又 所以 当时,易知上述结论也成立 所以 综上,所以 21Rt MF F01230MFF22MFb212MFb2122MFMFbC2212yx 12:20;:20lxylxyC00(,)Q xyQ00001222|,|33xyxyPPPP00(,)Q xyC2212yx 220022xy1cos32200000022212cos33933xyxyxyOAOB1122(,),(,)A x yB xyl002x xy y00y lC222
