《高三数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值范围问题含解析44》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值范围问题含解析44（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 问题问题 3535 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题 一、考情分析 与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用 二、经验分享 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不
2、等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达 式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 三、知识拓展三、知识拓展 1.已知 P 是椭圆 C：一点，F 是该椭圆焦点，则；2.已知 P 是双曲线
3、 C：一点，F 是该椭圆焦点，则；双曲线 C的焦点弦的最小值为.四、题型分析四、题型分析(一一)利用圆锥曲线定义求最值利用圆锥曲线定义求最值 借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理【例 1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值 222210 xyabab,bOPa acPFac222210,0 xyabab,OPa PFca2min22,baa(4 0),(2)AB，2221259xyMMAMB2【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用【解 析】由 已 知 得
4、是 椭 圆 的 右 焦 点,设 左 焦 点 为根 据 椭 圆 定 义 得,因为,所以,故的最小值和最大值分别为和.【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化【小试牛刀】【山东省济宁市 2019 届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为 4，渐近线方程为，点 N 在圆上，则的最小值为()A B5 C6 D7【答案】B【解析】由题意可得 2a4，即 a2，渐近线方程为 y x，即有，即 b1，可得双曲线方程为y21，焦点为 F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|，由圆 x2+y24y0 可得圆心 C（0
5、，2），半径 r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|，连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为 4+325 故选：B AMB、MAMBAB(4 0)A，(4 0)F ，=210MAMBaMFMBMBMF2 10MBMFFBMBMF 2 10,2 10 MAMB102 10102 103 (二二)单变量最值问题转化为函数最值单变量最值问题转化为函数最值 建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量【例 2】已知椭圆 C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直
6、角三角形,直线与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线 与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O 为坐标原点),求实数 的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当 k=0,的情况,确定 的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,圆心到直线的距
7、离*椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,222210 xyabab01 yxP)0,2(MlESTOPtOTOSt222)(aycx01 yxdac21)0(1:2222babyaxCcba22 1bcLL)2(xky00,yxp0288212222kxkxk081628214642224kkkk212k11,yxS22,yxT222122212128,218kkxxkkxx0tt222)(aycx01 yxdac21)0(1:2222babyaxC4 代入*式得 故所求椭圆方程为 （）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设 将直线方程代入椭圆方程得：设,则8 分
8、当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0,成立,故,t=0 符合题意.当时 得 将上式代入椭圆方程得：整理得：由知 所以 【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域【小试牛刀】【吉林省吉林市 2018 届高三第三次调研】已知椭圆的离心率是cba22 1bc22 ba.1222 yxLL)2(xky00,yxp0288212222kxkxk081628214642224kkkk212k11,yxS22,yxT222122212128,218kkxxkkxxOPt
9、OTOS0t22210221210218214)4(kkxxtxkkxxkyyty,2181220kktx202141kkty1)21(16)21(3222222224ktkktk2222116kkt212k402 t2 2t（，）abc、P()tf k2222:1(0)xyCabab5，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与圆相切：（）求圆的标准方程；（）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点，与圆交于不同的两点，求的取值范围【解析】(1)椭圆经过点，解得 ，解得 椭圆的标准方程为 (2)(i)圆的标准方程为,圆心为，直线：与圆相切，圆的半径,圆的标准方程为 （）由题可得直线的斜率
10、存在,设,由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点，解得 设,320,1C1l220 xy22:640D xyxymD2l3 0，C,E FD,M NEF MN0,1211b21b ，3,2e 32ca2223441aca24a C2214xyD223213xym3,21l220 xyDD32 2255r D22325xy2l23lyk x方程为223 14yk xxyy222214243640kxk xk2lC,E F22222244 1436416 1 50kkkk 2105k1122,E x yF xy6 则 ，又圆的圆心到直线的距离,圆截直线所得弦长,，设 则,，的取值范围为(三三)二元
11、变量最值问题转化为二次函数最值二元变量最值问题转化为二次函数最值 利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理【例 2】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最大值为 【分析】设点,利用平面向量数量积坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理【解析】设,则=,又点P在椭圆上,故,所以2212122224364,1414kkxxx xkk2222221212222436414141414kkEFkxxx xkkk 222211 5414kkkD3,22:30lkxyk22323211kkdkkD2l222251221k
12、MNrdk22242222211 5511 2542811414kkkkEF MNkkk29141,5tk 214tk22211 251148295025tEF MNttt 91,5t21195025tt 0,16EF MN0,822143xyOP PF P xy（，）OP PF xy，P xy（，）OP PF 221xyxyxxy（，）（，）22143xy7,又-2x2,所以当x=2 时,取得最大值为 6,即的最大值为 6,故答案为：6【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程【小试牛刀】【湖南省益阳市 2019 届高三上学期期末】已知定点及抛物线上的动点，则（其中 为抛物线 的焦点）的最
13、大值为（）A2 B C D3【答案】C【解析】方法一：作准线 于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，解得或.故最大值为 4，即最大值为 5.即最大值为.故选.方法二：作准线 于，则，设，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，解得或.故最大值为 4，即22223113322444xxxxxx（）21224xOP PF 8 最大值为 5.即最大值为.故选.(四四)双参数最值问题双参数最值问题 该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离
14、参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围【例 3】在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点（）求椭圆 C 的方程；（）设 P 为椭圆上一点,且满足（O 为坐标原点）,当时,求实数 的取值范围.【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到与的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设点坐标,由
15、题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2 个表达式联立,得到 的取值范围.【解析】（）则椭圆方程为即 设则 当时,有最大值为 xOy22221(1)xyabab OAOBtOP 3AB abNQN22244xby21b 24a,A P BABOAOBtOP ,x yP|3AB t2222223,4cabeaa224,ab22221,4xybb22244.xyb(,),N x y22222(0)(3)44(3)NQxybyy222236493(1)412yybyb1y NQ2412
16、4,b C32e N0 3（，）3,0M（）C.AB、t9 解得,椭圆方程是 （）设方程为 由 整得.由,得.则,由点 P 在椭圆上,得化简得 又由即将,代入得 化简,得 则,由,得 联立,解得或 【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点 P 在椭圆上,和已知向量等式得变量的等量关系,和变量的不等关系联立求参数的取值范围【小试牛刀】已知圆,若椭圆的右顶点为圆21,b 24a 2214xy1122(,),(,),(,),A x yB xyP x yAB(3),yk x22(3),1,4yk xxy2222(14)243640kxk xk24222416(91)(14)0k kkk 215k 2212122224364,.1414kkxxxxkk1212(,)(,),OAOBxxyyt x y 2122124()(14)kxxxttk12122116()()6.(14)kyyyk xxktttk222222222(24)1444,(14)(14)kktktk22236(14)ktk21213,ABkxx221212(1)()43,kxxx x12xx12x
