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1、2023年考研数学二真题与解析一、选 择 题 18 小题.每小题4 分，共 32分.1 .当xf0+时，若l n (l +2x),(l c o s x)。均是比x高阶的无穷小，则a的可能取值范围是()(A)(2,+o o)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)1 1 2【详解】h a(l +2x)2a x。，是a阶无穷小，(1 一 C OS X)。丁 工 是一阶无穷小，由题意可知彳2a2 a所以a的可能取值范围是(1,2),应 当 选(B).2.下列曲线有渐近线的是2121(A)y=x +s in x (B)y=x+s in x (C)y=x +s in (D)y=x 4-s in X X1
2、y 1【详解】对于y =x +s in,可知l im=l且l im(y-x)=l im s in =O,所以有斜渐近线y =xX XT 8 X XT 8 XT 8 X应 当 选(C)3.设 函 数/(x)具有二阶导数，8(幻=/(0)(1 幻+1),则 在 0,1 上()(A)当r(x)N 0时,/(x)Ng(x)(B)当r(x)N 0时，/(x)g(x)(C)当/(x)N0时，/(x)Ng(x)(D)当/(x)0时，f(x)g(x)【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及推断方法.【详 解1】假如对曲线在区间 a,切上凹凸的定义比较熟识的话，可以干脆做出推断.明显g(x)=/(0)(l-x)+
3、/(l)x就是联接(0,7(0),(1,/(1)两点的直线方程.故 当/(x)N 0时，曲线是凹的，也就是/(x)4 g(x),应 当 选(D)【详 解2】假如对曲线在区间 a,切 上凹凸的定义不熟识的话，可令/(x)=/(x)-g(x)=/(x)-0)(l-x)-/X,则/(0)=尸(1)=0,且 F (x)=r,(x),故当/(x)NO时，曲线是凹的，从而尸(x)4尸(0)=尸=0,即/(x)=/(x)-g(x)40,也就是f(x)g(x),应 当 选(D)4.曲线x=f 2 +7,y=t+At+上对应于f=l的点处的曲率半径是()(A)2(A)(B)(C)(D)(A)w(x,j)的最大值
4、点和最小值点必定都在区域D的边界上；(B)w(x,j)的最大值点和最小值点必定都在区域。的内部；(C)w(x,y)的最大值点在区域。的内部，最小值点在区域。的边界上;(D)”(x,y)的最小值点在区域。的内部，最大值点在区域。的边界上.(C )IOA/TO(D )5A/1 0 100【详解】曲线在点(x,/(x)处的曲率公式K=V o+/2)3曲率半径/?=.2本题中dxdy-彳dy 2+4 4=2t9 =2,+4,所以=-=1+dt dx 2t2,也=ZZ=_Lt dx 2t t3y对应于f=l的点处V=3,V=-1,所以K=-7=7(i+y2)3 IOVIO1,曲率半径/?=-1-=ioJ
5、T5.K应 当 选(C)5.设函数 f(x)=arctan x,若/(x)=W(J),则 Iim g-=()D X(A)1 (B)-(C)-(D)-3 2 3【详解】留 意(1)f(x)=-(2)x-0时,arctanx=x-x，+。(/).1 +x 3由于/(X)=A/，C).所以可知/)=二?二四二四吧1 +J-X X铲=x-arctan x(arctan x)2J,x-arrtanxhm、=hm-X T。广 1。x(arctanx)3K 26.设”(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且 满 意 空WO及dxoy【详解】(x,j)在平面有界闭区域。上连续，所以
6、w(x,y)在 D内必定有最大值和最小值.并且假如在内部存在驻点(x。,光),也就是黑=0,在这个点处A =乌：,。=dx dy dx2 dy2 dxdyd2udydx由条件，明显ACB2 M =-也=-3dx F,2电=_ 乙=一 工，所以或 匕 一=一1而 _，力办 Fz 2 图 2 21 2.曲线L的极坐标方程为r=6,则L在点(r,6)=71几处的切线方程为【详 解】先把曲线方程化为参数方程Vx=r(e)cos6=Ocosey=r(e)sin。=0sn0于是在夕=生 处，x=o,j=-,2 2dy,sm e+6cos61 2 .r.z 八、n 心一工口、=n 2 /八、口 口-1乃=-
7、1 .=，则 L 在点(r,6)=处的切线方程为=(“-。)，即dx-cosJ-S sin e-n k 2 2 J 2 n2 冗 Xd7C 21 3 .一根长为1的细棒位于x轴的区间 0,1 上，若其线密度P(x)=-/+2 x+l,则该细棒的质心坐标_ f xp(x)d x (-x3+2 x2+x)rf x 1 1 1(详解】质心坐标X =9-=与-=11=11,J p(x)d x (x2+2x+)dx-2。1 4 .设 二 次 型/3/2，*3)=疗 一 式+2依产3+4与 巧 的 负 惯 性 指 数 是1，则4的 取 值范围是.【详解】由配方法可知/(X j,x2,x3)=x)2-x；+
8、2 a X 1 X3+4X2X3=(x,+ax3)2 (x2-2X3)2+(4 Q2)X；由于负惯性指数为1,故必需要求4一。2 N O,所以4的取值范围是-2,2 .三、解答题1 5.(本题满分1 0分)1(尸(求极限lim-：-.X T+8 cx2l n(l +-)X【分析】.先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限.【详解】1 (/(/-1)-辿 /(/_1)_)由 1lim-=lim-=im(x2(ex-1)-x)x-+a o1 x T+8 Y x-oox2l n(l+)xX=lim|x2(-+-T+o(r)-x|=x 2x x J 21 6.(本 题 满 分1 0分
9、)已知函数j=y(x)满意微分方程x2+j2/=1-/,且y(2)=0,求j(x)的极大值和微小值.【详解】解：把方程化为标准形式得到(1+_/)=1-*2,这是一个可分别变量的一阶微分方程，两边分别积分1I2可得方程通解为：-J3+j=x-x3+C,由y(2)=0得C =,即 +了=*_，*3+2.3 3 3.dy 1 x2 八令 手=7 =0,dx l+y 口 f r,d y且可知一T =dx得 x=l,-2 x(1+J2)2-2J(1-X2)2(1 +J2)3当x=l时，可解得y =l,j=-l 0,函数取得微小值y =0.1 7 .(本题满分1 0分)设平面区域Z)=(x,j)|l x
10、2+j2 0.j 0 .计算产露+y Fy【详解】由对称性可得rf X s inOrJ x?+y 2)js in(A/x?+J2),j 1 rr(x+j)s in(ApO?),j-axa=I-dxd=I -dxdyJ?x+y J?x+y 2 J；x+j1 M s i n g j l +V)1 ,3=-1 1-dxd=-I-d0 rs in ra r=2JJ 1 2。41 8.(本 题 满 分1 0分)a27 设 函 数/()具 有 二 阶 连 续 导 数，z=/(e*c os y)满 意 衿+(4=(4 z +e*c os y ”.若ox dy/(0)=09/0)=0,求/()的表达式.【详解
11、】设=屋 c os y ,则 z =f(u)=f(ex c os y),dzy；=-/(w)xs inj,-=f(u)e2x s in2 y-f(u)ex c os y；dy dy詈dz +fdz=/()e o=r(excy)e92xox dy由 条 件 空 +空=(4 z +e*c os y)/*,dx2 dy可知/()=4/()+w这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.对应齐次方程的通解为：/(w)=C。+C2e-2 u其中C,C2为随意常数.对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为/()=Ge?+C2e-2,-u.将初始条件/(0)=0,/(0)=0代入，可得G =一16 16所以/(
12、)的表达式为 f(u)=-e2u-e-2 u-u.16 16 419.(本题满分10分)设函数/(x),g(x)在区间”.以上连续，且/(x)单调增加，0g(x)l,证明:(1)0|gtdt x-a,x e a,b-.(2)+IK U，J，f(x)dx f(x)g(x)dx.【详解】(1)证明：因为 04 g o)41,所以 J O r fx j g(t)dt J dt x e a,b.即 O v J g(t)dt x a,x Ga,b.(2)令=f(u)g(u)d u-j f(u)du,则可知歹(a)=0,且F(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+g)d，因为04 g(f)d f4x a
13、,且/(x)单调增加，所以 f(a+x-a)=f(x).从而F(x)=/(x)g(x)-g(x)/(a+g(t)d，N/(x)g(x)-g(x)/(x)=O,也是产(x)在 a单调增加，则/(Na)=O,即得到*0 f(x)dx【详解】Xfl(X)=力(X)1+X1+/(*)一 1 X1+XX1 +2 x利用数学归纳法可得f.(x)=-1 +/I X5=J(7(x)jx=f；T-jx=l(i-必 (_ 坦 n n1v Q v(.l n(l +)l im nS n=l im 1-=1.n-oo oolf i J2 1.(本 题 满 分11分)已知函数/(x,y)满 意 警=2(y+l),且/(y
14、,_y)=(y+l)2(2 y)l ny,求曲线/(x,y)=O所成的图形绕直线j=-l旋转所成的旋转体的体积.【详 解】由于函数/(x,y)满意”=2(y+l),所以/(x,y)=_/+2 y+C(x),其中。(x)为待定的连续函数.由又因为 f(y,y)=(y+1)2-(2-j)l nj,从而可知 C(y)=1-(2-y)lny,得到 f(x,y)=j1 2+2y+C(x)=j2+2 _y+1-(2-x)l nx .(1)求方程组AX=O的一个基础解系;(2)求满意A6=E的全部矩阵.【详 解】(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下:令/(x,y)=O,可得(y+1)2=(2-x)I nx
15、.且当 y=-l 时，X!=1,x2=2 .曲线/(x,y)=0所成的图形绕直线j=-l旋转所成的旋转体的体积为V=万J(y+l)2d x =(2-x)lnxdx=(2 1n2-1)2 2.(本题满分11分)设4=1-2 30 1-1J 2 0-4、13,E为三阶单位矩阵.A=1 -2 3 -4、0 1-1 11 2 0 3?10-2143-1-3-4、11 10、0-2103 -4、-1 11 710、01、-2-3010001得到方程组A X =0同解方程组七=一%x2=2X4x3=3X4-1、2得到A X =O的一个基础解系5=3（2）明显B矩阵是一个4 x 3矩阵，设5=再x2X3*4
16、Ji当%为Z|z2小对矩阵（AE）进行进行初等行变换如下:I-2310 0、1-23-4100、(AE)=0-101 001100U20300 )14-31-I 0I-23-4I0 0、10012601-100010-2(00I-3-1-4 V101-11JB =2 C1 +2 c j1 +3 cl6-C23 4-2 c 24+3 c 21 +2C3l+3,33其中C1,C2，C3为随意常数.2 3.（本题满分11分）1 1 1 1 证明n阶 矩 阵：J 1 .【详解】证明：设4 =A p o 1、1 0 0 2:与：相像，、0 0 n.。11 1J 11)(0 01 0 0.，B =.1J(0 01、2力分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:2-1-1 -1_ 1 J 1.1AE-A=.=a-n Un-,-1 -1 丸一1所以A的个特征值为/=2 =4 =丸 =o；%、0而且A是实对称矩阵，所以肯定可以对角化.且从 ；、0,A 0-1I 0 4 一2.|2E-B|=.=(A-n)A,0 0 A ii所 以B的个特征值也为4 =n9A2=4=丸 =0；对于-1重特征值丸=0,由于矩阵(
