《高三数学备考冲刺140分问题32与圆有关的最值问题含解析41》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题32与圆有关的最值问题含解析41（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 问题问题 3232 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.二、经验分享 1.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如uybxa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题
2、；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展三、知识拓展 1.圆外一点 P 到圆 C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.2.圆 C 上的动点 P 到直线 l 距离的最大值等于点 C 到直线 l 距离的最大值加上半径，最小值等于点 C 到直线 l 距离的最小值减去半径.3.设点 M 是圆 C 内一点，过点 M 作圆
3、C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析四、题型分析(一一)与圆相关的最值问题的联系点与圆相关的最值问题的联系点 1.11.1 与与直线的倾斜角或斜率的最值问题直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式(90)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.PCrktan2 处理方法：直线倾斜角的范围是0,),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分0，2)与(2，)两种情况讨论由正切函数图象可以看出,当0，2)时,斜率k0,)；当2时,斜率不存在；当(2，)时,斜率k(
4、,0)【例例 1 1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是().A B C D【答案】C【解 析】,且.设直线的倾斜角为,当时,则,所以倾斜角的范围为.当时,则,所以倾斜角的范围为.【点评【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数ytan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数ytan x的单调性求k的范围 【小试牛刀】若过点的直线与圆有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（）A B C.D【答案】B【解 析】当 过 点的 直 线 与 圆
5、 相 切 时,设 斜 率 为,则 此 直 线 方 程 为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得或,故直线的倾斜角的取值范围是,所以 B 选项是正确的.1.21.2 与距离有关的最值问题与距离有关的最值问题 在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.,443,440ABk 01ABk 04 34 224xy0 6，0 3，0 6，0 3，224xyk0k 3k 0,33【例例 2 2】过点的直线 与圆：交于两点,为圆心,当最小
6、时,直线 的方程是 答案:解析：要使最小,由余弦定理可知,需弦长最短.要使得弦长最短,借助结论可知当为弦的中点时最短.因圆心和所在直线的,则所求的直线斜率为,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.【例例 3 3】若圆：关于直线对称,则由点向圆 C 所作的切线长的最小值是（）A B C D【答案】C【解析】圆 C：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为 圆 C：关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+
7、2b+6=0,即 a=b+3 点（a,b）与圆心的距离,所以点（a,b）向圆 C 所作切线长：当且仅当 b=-1 时弦长最小,为 4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）1,2MlC,A BCACBlACBAB1,2M1,2M1C(,)a b234624 A B C D【答案】D【解析】由抛物线焦点在 轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆
8、，圆心为，半径为 1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选 D.1.31.3 与面积相关的最值问题与面积相关的最值问题 与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例【例 4 4】在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线：.因为,所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点,为准线的抛物线.圆 C 半径最小值为,圆面积的最小值为选 A.【例例 5 5】动圆 C 经过点,并且与直线相切
9、,若动圆 C 与直线总有公共点,则圆C 的面积（）A有最大值 B有最小值 C有最小值 D有最小值【答案】D【解析】设圆心为,半径为,即,即,圆心为,圆心到直线的距离为,A BxyABCC4534(62 5)54llC(1,0)F1x 8234(,)a br214ab21(,)4b b2114rb5 或,当时,.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学 2019 届高三上学期诊断】已知 O 为坐标原点，直线若直线l与圆 C 交于 A，B 两点，则OAB 面积的最大值为（）A4 B C2 D【答案】C【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为 2，又由直线，可知，即点 D 为 OC 的中点，所以,设，又由，所
10、以，又由当，此时直线，使得 的最小角为，即 当时，此时的最大值为 2，故选 C。(二二)与圆相关的最值问题的常用的处理方法与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.12.1 数形结合法数形结合法 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.【例 6】已知实数x,y满足方程x2y24x10,求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心,半径r3的圆 2b 2b 6(1)设yxk,
11、即ykx,由题知,直线ykx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径3.|2k0|k213.k23,即3k3,yx的最大值为3,最小值为3.(2)设yxb,则当直线yxb与圆相切时,b取最值,由|20b|23,得b26,yx的最大值为62,最小值为26.(3)令dx2y2表示原点与点(x,y)的距离,原点与圆心(2,0)的距离为 2,dmax23,dmin23.x2y2的最大值为(23)2743,最小值为(23)2743.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解常见的最值问题有以下几种类型：形如ybxa形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxb
12、y形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【小试牛刀】已知直线和曲线,点在直线 上,若直线与曲线至少有一个公共点,且,则点的横坐标的取值范围是（）A B C D【答案】B【解析】设,依题意有圆心到直线的距离,即,解得.2.22.2 建立函数关系求最值建立函数关系求最值 AlACMCA0,51,51,30,301,5x 7 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例 7】设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】
13、依题意两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的半径.设.圆心到椭圆的最大距离.所以两点间的最大距离是.故选 D.2.32.3 利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值 如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如或者的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.【例 8】设,过定点 A 的动直线和过定点 B 的动直线交于点,则的最大值是 .【分析】根据,可用均值不等式求最值【解析】易得.设,则消去得：,所以点 P 在以 AB 为直径的圆上,所以,.【小试牛刀】设,若直线与圆相切,则的取值范围是（）A
14、B C D【答案】D 【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得,QP,11022 yxQP,25246 2726QP,2(,)Q x yQP,26a babmR0 xmy(,)P x y|PAPB(,)P x ymPAPB,m nRmn8 由 基 本 不 等 式 得,令,则,解 得.四、迁移运用四、迁移运用 1【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆 与轴的左、右交点，直线过点 且与 轴垂直，点 在直线上，纵坐标为，若在半圆 上存在点 使，则 的取值范围是（）A B C D【答案】A【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，由于
15、BP与x轴垂直，且BPQ，则在 RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值 3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值 2，|t|有最大值，则t取得最小值，t0 时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为，0）；故选：A tmn9 2【河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断】已知点 为圆上一点，,则的最大值为（）A B C D【答案】C【解析】取 AB 中点 D(2,-3),d+r=的最大值为，故选 C.3【河北省唐山市 2018-2019 学年高三上学期期末】已知点 在圆上，为中点
16、，则的最大值为()A B C D 【答案】B【解析】设点M的坐标为，则，将点P的坐标代入圆的方程可得点M的轨迹方程为，如图所示，当与圆 相切时，取得最大值，此时.本题选择B选项.10 4【广西柳州市 2019 届高三毕业班 1 月模拟】已知点是抛物线上的动点，以点为圆心的圆被轴截得的弦长为，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为（）A B C D【答案】D【解析】设圆心，而，圆的方程为：，当时，得.故选 D.5【山东省滨州市 2019 届高三期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（）A B C D【答案】C【解析】圆的方程为圆（x2）2+（y2）25，圆心C（2，2），半径为 直线y3k（x1），此直线恒过定点（1，3），当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，弦心距为：11 所截得的最短弦长：2 故选：C 6【湖南省长沙市 2019 届高三上学期第三次调研】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为 2，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为 A B2 C D3【答案】C【解析】因为，所以点 M 在双曲线 C 右支上，因为渐近线方程为，所以 圆，即，设圆心为,则
