第二章 直线和圆的方程 典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：直线的倾斜角和斜率高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）高频考点三：直线的方程高频考点四：直线过定点问题高频考点五：点到直线的距离高频考点六：对称问题高频考点七：根据对称性求最值高频考点八：圆的方程高频考点九：与圆有关的最值问题高频考点十：轨迹方程高频考点十一：直线与圆相交的弦长问题高频考点十二：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题高频考点十三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长高频考点十四：直线与圆的综合问题一、基本概念回归知识回顾1：直线倾斜角的定义以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.知识回顾2：直线的斜率2.1倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即2.2如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：知识回顾3：两条直线平行两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识回顾4：两条直线垂直两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识回顾5：直线方程5.1直线的点斜式方程:直线过点和斜率（已知一点+斜率）:5.2直线的斜截式方程:直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）:5.3直线的截距式方程:直线在轴上的截距为，在轴上的截距为:5.4直线的一般式方程:定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.知识回顾6：直线系方程6.1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.6.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.知识回顾7：两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.知识回顾8：距离8.1两点间的距离公式：平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.8.2点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.8.3两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.知识回顾9：圆的方程9.1圆的标准方程我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.9.2圆的一般方程对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；②当时，方程表示一个点③当时，方程不表示任何图形说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.知识回顾10：点与圆的位置关系判断点与：位置关系的方法:（1）几何法（优先推荐）设到圆心的距离为，则①则点在外②则点在上③则点在内（2）代数法将点带入：方程内①点在外②点在上③点在内知识回顾11：直线与圆的位置关系11.1几何法（优先推荐）图象位置关系相交相切相离判定方法；。
圆心到直线的距离：圆与直线相交圆心到直线的距离：圆与直线相切圆心到直线的距离：圆与直线相离11.2代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离记直线被圆截得的弦长为的常用方法知识回顾12：直线与圆相交弦长12.1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：12.2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：知识回顾13：圆与圆的位置关系13.1几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.13.2代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）知识回顾14：圆与圆的公共弦14.1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.14.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程二、重点例题（高频考点）高频考点一：直线的倾斜角和斜率1．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）直线的倾斜角的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】易得斜率必存在，设的倾斜角为且，由可得斜率，因为，所以，所以，即，所以故选：C2．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，易得，，又因为，所以，所以所求直线的倾斜角的取值范围为.故选：A..3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．或【答案】D【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：由斜率公式可知，直线的斜率为，直线的斜率为，若与线段相交，只需要或，故实数a的取值范围是或.故选：D.4．（2022·全国·高二课时练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.【答案】【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，如图，，则，，故的取值范围是.故答案为：5．（2022·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．【答案】;.【详解】因为，，由与线段相交，所以，所以或，由于在及均为增函数，所以直线的倾斜角的范围为：.故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）是直线和平行的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，直线和分别为： 和 ，显然，两直线平行；当直线和平行时，有 成立，解得或，当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；由此可判断是直线和平行的充分不必要条件，故选：A.2．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）A．3 B． C．3或 D．3或5【答案】D【详解】由解得或，当时，直线：，直线：，有，当时，直线：，直线：，有，所以a的值是3或5.故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）直线：与直线：相交，则m的取值范围为______．【答案】【详解】若与平行，则，可得，所以要使与有交点，则.故答案为：4．（2022·陕西汉中·高一期末）若直线与直线平行，则__________.【答案】【详解】由直线与直线平行，可得:，解得，所以，.故答案为：5．（2022·重庆八中高二期末）若直线与直线垂直，则_______.【答案】##0.5【详解】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时，，解之得，故答案为：.6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线和直线互相垂直，求的取值范围．【答案】【详解】因为，所以，所以，因为，所以．因为，所以，所以，故的取值范围为．7．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：(1)相交？(2)平行？【答案】(1)且；(2).(1)若两直线相交，则，即且.(2)若两直线平行，则，即或.当时，，，满足题设；当时，，，即两线重合，不合题设；所以.高频考点三：直线的方程1．（多选）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，所以直线的斜率或或或，所以直线的方程可以为或或 或，由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.故选：ABC.2．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为______．【答案】或【详解】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为，所以直线的倾斜角为或，且过，故直线的方程为或，即或.故答案为：或3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______．【答案】【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，且，所以，所以可得直线l的方程为，即．故答案为：.4．（2022·全国·高二课时练习）过点且与直线成角的直线的一般式方程是______．【答案】或【详解】由直线方程，可得此直线的斜率为，倾斜角为，则与该直线成角的直线的倾斜角为或，又因为所求直线过点，所以所求直线方程为或，即或．故答案为：或5．（2022·全国·高二）经过点）且在x轴上的截距为3的直线方程是______．【答案】【详解】当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意；当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，所以直线方程为：.故答案为：.6．（2022·全国·高二课时练习）设直线l的方程为．(1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；(2)若直线l的倾斜角为，求m的值．【答案】(1)；(2)（1）由题意得,解得，故当时，直线l在x轴上的截距为-3；（2）由题意得，解得，故当时，直线l的倾斜角为45°7．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30，求直线l的方程．【答案】.【详解】依题意，设直线l与y轴交于点，则直线交x轴于点，即有，则有，解得，所以直线l的方程为，即.8．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线的方程为.(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(2)若直线与轴､轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)(2)面积的最小值为，此时直线的方程为（1）直线的方程可化为，因为不过第二象限，所以，解得，从而的取值范围为（2）直线的方程可化为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最小值为，此时直线的方程为高频考点四：直线过定点问题1．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）直线，当变动时，所有。
