第2课时 二次函数性质的综合应用二次函数性质的综合应用多与几何图形、线段的长度、最值问题等知识结合考查,常以代数压轴题的形式出现,有一定的难度.1.(2021·安徽第22题)已知抛物线y=ax2－2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1.(1)求a的值.(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上,且－10)与抛物线y=ax2－2x+1交于点A,B,与抛物线y=3(x－1)2交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.解:(1)由题意知－−22a=1,所以a=1.(2)y1>y2.理由:因为－1y2.(3)由x2－2x+1=m,得(x－1)2=m,故x1=1－m,x2=1+m,所以线段AB的长度为x2－x1=(1+m)−(1−m)=2m.由3(x－1)2=m,得(x－1)2=m3,故x3=1－3m3,x4=1+3m3,所以线段CD的长度为x4－x3=1+3m3−1−3m3=23m3,故线段AB与线段CD的长度之比为2m23m3=3.2.[一题多解](2020·安徽第22题)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点.(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由;(2)求a,b的值;(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.解:(1)点B在直线y=x+m上.理由如下:因为直线y=x+m经过点A(1,2),所以2=1+m,解得m=1,从而直线对应的表达式为y=x+1.又因为点B的坐标(2,3)满足该表达式,所以点B在这条直线上.(2)因为抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过点(0,1),且B,C两点横坐标相同,所以此抛物线只能经过A,C两点.将A,C两点的坐标代入y=ax2+bx+1,得a+b+1=2,4a+2b+1=1,解得a=－1,b=2.(3)解法1:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=－x2+px+q,其顶点坐标为p2,p24+q.因为顶点在直线y=x+1上,所以p2+1=p24+q.于是,抛物线与y轴交点的纵坐标为q=－p24+p2+1=−14(p−1)2+54.所以当p=1时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值54.解法2:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=－(x－h)2+k,因为顶点在直线y=x+1上,所以k=h+1.令x=0,得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为－h2+h+1.因为－h2+h+1=－h−122+54,所以当h=12时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值54.改编题 在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx－3经过A(－1,0),B(1,－6),C(1,－4)三点中的两点.(1)求该抛物线的表达式.(2)平移抛物线y=ax2+bx－3,使其顶点在直线y=3x+1上.设平移后抛物线顶点的横坐标为t,点P(1,m)在平移后的抛物线上,设PA2=h,求h的最小值.解:(1)抛物线y=ax2+bx－3与y轴的交点的坐标为(0,－3).由B(1,－6),C(1,－4),知BC∥y轴,∴抛物线y=ax2+bx－3经过B,C两点中的一点.而A(－1,0),(0,－3),B(1,－6)三点在同一条直线上,∴点B(1,－6)不在抛物线y=ax2+bx－3上,即抛物线y=ax2+bx－3经过点A(－1,0),C(1,－4).将点A(－1,0),C(1,－4)代入抛物线y=ax2+bx－3,得a−b−3=0,a+b−3=−4,解得a=1,b=−2,∴该抛物线的表达式为y=x2－2x－3.(2)∵平移后抛物线顶点的横坐标为t,顶点在直线y=3x+1上,∴平移后抛物线顶点的坐标为(t,3t+1),∴平移后的抛物线的表达式为y=(x－t)2+3t+1.∵点P(1,m)在平移后的抛物线上,∴m=(1－t)2+3t+1=t2+t+2,∴h=PA2=[1－(－1)]2+(t2+t+2)2=4+(t2+t+2)2,∴当t2+t+2取得最小值时,h=PA2有最小值.设n=t2+t+2=t+122+74,∴当t=－12时,n取得最小值74,∴h=PA2有最小值11316.3.[一题多解](2019·安徽第22题)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值.(2)过点A(0,m)(02,则y1－2则y1>y2D.若x1+x2<－2,则y1>y2(2)当x>2时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x的增大而增大,则m的值为 . (3)当x>1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是 . (4)当－2≤x≤4时,y的最大值是15,则m的值是 . (5)当－1≤x≤3时,二次函数y=－x2+mx+m与直线y=x+2有且只有一个交点,则m的取值范围是 . 【答案】(1)B.(2)4.(3)m≤2.(4)－19或6. 提示:二次函数y=－x2+mx+m=－x−m22+m24+m,对称轴为直线x=m2,当m2<−2,即m<−4时,在−2≤x≤4范围内,y随x的增大而减小,∴当x=−2时,y取得最大值,即−(−2)2−2m+m=15,解得m=−19;当−2≤m2≤4,即−4≤m≤8时,在−2≤x≤4范围内,y先增大后减小,∴当x=m2时,y取得最大值,即m24+m=15,解得m1=−10(舍去),m2=6;当m2>4,即m>8时,在−2≤x≤4范围内,y随x的增大而增大,∴当x=4时,y取得最大值,即−42+4m+m=15,解得m=315(舍去).综上所述,m的值为－19或6.(5)m>72或m=22−1. 提示:由−x2+mx+m=x+2,得x2−(m−1)x−m+2=0.①当抛物线的顶点在直线y=x+2上时,Δ=(m−1)2−4(−m+2)=0,解得m1=−22−1(舍去),m2=22−1.②当抛物线的顶点在直线y=x+2上方时,Δ>0,得m>22−1或m<−22−1,且此时应满足−1−m+m≤−1+2,−9+3m+m>3+2,解得m>72.综上所述,m的取值范围是m>72或m=22－1.。