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1、北京十渡中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是数列的前项和，且，则（ ）A B C. 10 D-10参考答案：B由得，即，是首项为，公差为的等差数列，则，即，故选B.2. ，集合，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ）AB C D参考答案：D3. 以下有五个结论：某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；若x1，x2，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25.；从总体中抽取的样本， 则回归直线=
2、至少过点中的某一个点；其中正确结论的个数有（ ）A0个 B 1 个 C2 个 D3个参考答案：A略4. 下列结论正确的是A若直线平面，直线平面，且不共面，则B若直线平面，直线平面，则C若两直线与平面所成的角相等，则D若直线上两个不同的点A，B到平面的距离相等，则参考答案：AA中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A5. 已知a，b，c满足cba且ac
3、0，则下列选项中一定成立的是（）AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）0参考答案：A【考点】不等关系与不等式【分析】先研究a，b，c满足cba且ac0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：a，b，c满足cba且ac0，c0a由此知A选项abac正确，由于c（ba）0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac0，ac0，故ac（ac）0，所以D不正确故选A【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证6. 若向量
4、，满足：，则，的夹角为（）ABCD参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两组训练的数量积为0，转化求解向量的夹角即可【解答】解：由条件得：，故，的夹角为，故选：D7. 中，三边长，满足，那么的形状为（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能参考答案：A由题意可知，即角最大。所以，即，所以。根据余弦定理得，所以，即三角形为锐角三角形，选A.8. 设，则，的大小关系为（ ） ABCD参考答案：A解：，故选9. 函数在定义域内零点的个数 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3参考答案：C略10. 下列函数中，周期是，且在上是减函数的是( )ABCy=sin2
5、xDy=cos2x参考答案：D【考点】余弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 【专题】计算题【分析】利用三角函数周期计算公式，分别计算各函数的最小正周期，即可排除A、B，利用正弦函数和余弦函数图象和性质，即可求得C、D函数的单调减区间，得正确答案【解答】解：A，此函数的周期为2，排除A；B，此函数的周期为2，排除B；C，此函数的周期为，在一个周期0，内，其单调减区间为，排除C；D，此函数的周期为，在一个周期0，内，其单调减区间为，故D符合题意；故选 D【点评】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的图象和性质，三角复合函数的最小正周期、单调区间的求法，属基础题二、 填空题:本大
6、题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中若，则的值为 参考答案：12. 函数的导函数为，若对于定义域内任意，有恒成立，则称为恒均变函数，给出下列函数：；其中为恒均变函数的序号是_（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：解：，符合要求，符合要求，不符合要求，不符合要求综上所述，符合要求有13. 如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若，且点D在圆C上，则_参考答案：【分析】由向量加法的概念以及可得四边形为菱形，且，再由向量数量积的定义即可得结果.【详解】，四边形为平行四边形，又，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量加法的
7、平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形为一个内角为的菱形是解题的关键，属于基础题.14. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。设函数为定义在0，1上的非减函数，且满足以下三个条件： ； ； 当时，恒成立。则 。参考答案：115. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_.参考答案：16. 已知0m1，a是方程的根，则= 参考答案：117. 设正数满足，则 .参考答案：【知识点】基本不等式E6：正数a，b，c满足，（a+b+c）(+)=14+2+236当且仅当2c=3b=6a时取
8、等号=【思路点拨】由于正数a，b，c满足，可得（a+b+c）(+)=14+，再利用基本不等式的性质即可得出三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值.参考答案：解：（）2分4分 （）因为对定义域内任一x有 =最大为略19. 如图，三棱柱中，侧面底面节ABC，且，O为AC的中点 (I)求证：平面ABC； ()若E为的中点，求证：平面； (III)求直线与平面所成角的正弦值 参考答案：略20. 设D是圆上的任意一点，
9、m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知点，过的直线交曲线C于A，B两点，交直线于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）设点，由条件的线段比例可得，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，由 ，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，因为，点在直线上，所以，.因为点在圆：上运动，所以.将式代入式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，
10、得.设，则有，.记直线，的斜率分别为，从而，.因为直线的方程为，所以，所以 .把代入，得.又，所以，故直线，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21. 已知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x10），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，AFD=60（1）求证：AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求PMN面积的最小值，并求
11、取到最小值时的x1值参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FDAQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出（2）设B（x2，y2）（x20），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值解答：解：（1）设
12、，则A处的切线方程为，可得：，；AFQ为等腰三角形由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，|AF|=4，得：p=2，C：x2=4y（2）设B（x2，y2）（x20），则B处的切线方程为联立得到点P，联立得到点M同理，设h为点P到MN的距离，则= 设AB的方程为y=kx+b，则b0，由得到x24kx4b=0，得代入得：S=，要使面积最小，则应k=0，得到令，得=，则=，所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增，所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，所以，解得故PMN面积取得最小值时的x1值为点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为
13、方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键22. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在R上存在最大值0，求函数在0,+)上的最大值；（3）求证：当时，.参考答案：解：（1）由题意可知，则，当时，在上单调递增；当时，解得时，时，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，即，观察可得当时，方程成立令，当时，当时，在上单调递减，在单调递增，当且仅当时，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，即，令，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，即，所以当时，.
