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1、湖南省怀化市海天中学2022-2023学年高二数学理上学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知， ， ，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据条件即可得出，alog2e，bln2，clog23，容易得出log23log2e1，ln21，从而得出a，b，c大小关系【详解】；log23log2elog221，ln2lne1；cab故选：A【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题2. 已
2、知i为虚数单位，则=（）ABCD参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解： =故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 给定平面及同侧两点A,B,则平面内使得PA,PB与平面所成角相等的点PA有且只有一个 B形成一个圆 C形成一条直线 D形成一条直线或一个圆参考答案：D4. 已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最大值为A B C8 D63参考答案：B5. 已知点（3，4）在椭圆上，则以点为顶点的椭圆的内接矩形的面积是 （） A、12B、24C、48D、与的值有关参考答案：C略6. 若二面
3、角L的大小为，此二面角的张口内有一点P到、的距离分别为1和2，则P点到棱l的距离是（）AB2C2D2参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法【分析】设过P，C，D的平面与l交于Q点，可以证出l面PCQD于Q，DQC是二面角l的平面角，PQ是P到l的距离且PQ是PDC的外接圆的直径，在PCD中利用余弦定理求出CD，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线l的距离【解答】解：设过P，C，D的平面与l交于Q点 由于PC平面，l?平面M，则PCl，同理，有PDl，PCPD=P，l面PCQD于Q又 DQ，CQ，PQ?平面PCQDDQl，CQlDQC是二面角l的平面角DQC=60且PQl，所以PQ是
4、P到l的距离在平面图形PCQD中，有PDQ=PCQ=90P、C、Q、D四点共圆，也为PDC的外接圆，且PQ是此圆的直径在PCD中，PC=1，PD=2，CPD=18060=120，由余弦定理得 CD2=1+4212（）=7，CD=在PDC 中，根据正弦定理=2R=PQ，代入数据得出PQ=点P到直线l的距离为故选：A7. 过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0参考答案：A略8. 由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6参考答案：C【考点】定积分在求
5、面积中的应用【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：S=故选C9. 设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR都有f（x）f（x）成立，则（）A3f（ln2）2f（ln3）B3f（ln2）=2f（ln3）C3f（ln2）2f（ln3）D3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）
6、的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案【解答】解：令g（x）=，则=，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln2ln3，所以g（ln2）g（ln3），即，所以，即3f（ln2）2f（ln3），故选C10. 不等式的解集为（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，以正六边形的一条对角线的两个端点F1、F2为焦点，过其余四个顶点作椭圆，则该椭圆的离心率为_ 参考答案：e1略12. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003
7、，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分。如果第一部分编号为0001，0002，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为参考答案：079513. 若甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选修的课程都不相同的选法种数为_参考答案：30【分析】根据题意知，采用分步计数方法，第一步，甲从门课程中选门，有种选法；第二步乙从剩下的门中选门，有种选法，两者相乘结果即为所求的选法种数。【详解】故答案为。【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，分步要做到“步骤完整”，各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复。14. 抽样
8、统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下图:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_.运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892参考答案：215. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 参考答案：因为，所以（当且仅当时取等号），所以有，即的最大值为，故16. 圆上的点到直线的最短距离为_.参考答案：略17. P是椭圆上的点，F1、F2 是两个焦点，则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差是_.参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，其中为自然对数的底数（）若曲线
9、在点处的切线与直线垂直，求实数的值（）设函数，若在区间内存在唯一的极值点，求的值（）用表示，中的较大者，记函数函数在 上恰有个零点，求实数的取值范围参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算，求出的值即可；（）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的的值即可；（）通过讨论的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定 的范围即可【解答】解：（） 易得，所以，依题意，解得；（）因为，则设，则令，得则由，得，为增函数；由，得，为减函数；而，则在上有且只有一个零点，且在上，为减函数；在上，
10、为增函数所以为极值点，此时又，则在上有且只有一个零点，且在上，为增函数；在上，为减函数所以为极值点，此时综上或（）（）当时，依题意，不满足条件；（）当时，若，即，则是的一个零点；若，即，则不是的零点；（）当时，所以此时只需考虑函数在上零点的情况因为，所以当时，在上单调递增又，所以（i）当时，在上无零点；（ii）当时，又，所以此时在上恰有一个零点；当时，令，得由，得；由，得；所以在上单调递减，在上单调递增因为，所以此时在上恰有一个零点；综上，19. 抛物线的焦点是F，倾斜角为45的直线与抛物线相交于A，B两点，|AB|8，求直线的方程参考答案：设AB方程为yxb1分解得：b3. 11分直线方程为
11、yx3.即：xy3012分20. （本小题12分）已知函数=（x+1）Inx-x+1.(1)若+ax+1，求a的取值范围；(2)证明：（x-1）0参考答案：（1）；（2）略.21. 已知函数在点M(1,1)处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.参考答案：（1）f(x)=x2-4lnx（2）函数的单调递增区间是，单调递减区间是.极小值为，无极大值【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程得到关于的方程组，解出即可。（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可。【详解】（1），?因为点M(1,1)处的切线方程为2x+y-3=0，所以,所以，则f(x)=x2
12、-4lnx;（2）定义域为(0,+),令，得（舍负）.列表如下：xf(x)-0+f(x)递减极小值递增故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.极小值为，无极大值.【点睛】本题（1）是根据切点在曲线上以及函数在切点处的导数就是切线的斜率这两点来列方程求参数的值，（2）是考查函数的单调性和极值,本题是一道简单的综合题。22. 已知曲线 （I）若直线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围；（II）若直线与曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为坐标原点），求实数的取值范围。参考答案：解（I）曲线为双曲线的上半部分（含与x轴交点）和椭圆的下半部分构成，图象如图所示，2分双曲线渐近线为与双曲线的一条渐进线平行，联立时，直线与完整的双曲线只能有一个交点；联立时直线与椭圆下半部分相切； 4分综上可得：所以实数m的取值范围为 6分 （II）直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B，由题可得只能交双曲线上半部分于A和B两点 8分 联立， 由题可得， 10分所以 12分
