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1、湖南省长沙市老梁仓第六中学高三数学文摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线 在x=1处切线的倾斜角为 （A）1 （B） （C） （D）参考答案：C略2. 函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于（ ） 8 9 10 11参考答案：C3. 执行右侧框图所表达的算法,如果最后输出的的值为,那么判断框中实数的取值范围是( ). . . .非上述答案参考答案：A4. 已知函数，关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：A5. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是
2、 棱的中点，是侧面内一点，若平面 则线段长度的取值范围是A B. C. D. 参考答案：B取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B. 6. 复数z1a+bi(a、b?R，i为虚数单位)，z2b+i，且|z1|0，使对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”现给出下列函数：f(x)=0；f(x)=x2；f(x)=； f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有其中是“倍约束函数”的序号是 （ ） A B C D 参考答案：D10.
3、 等差数列中，则前项和中最大的是（ ） A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量和，其中，且，则向量和的夹角是 参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题；平面向量及应用分析：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角解答：解：设向量和的夹角是，则，且，=2=22coscos=0，=故答案为：点评：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题12. 设 若，则的取值范围是_.参考答案：（1,11）略13. 设函数，则“为奇函数”是“”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既
4、不充分也不必要”）参考答案：略14. 如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形。则该几何体的体积等于 cm3，它的表面积等于 cm2.参考答案：； 15. （5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bsinA=3csinB，a=3，则b的值为 参考答案：【考点】： 余弦定理；正弦定理解三角形【分析】： 利用正弦定理化简已知等式，根据b不为0得到a=3c，把a的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosB，将各自的值代入即可求出b的值解：利用正弦定理化简bsinA=3csinB，得：ab=3bc，b0，a=3c，把
5、a=3代入得：c=1，由余弦定理得：cosB=，解得：b=故答案为：【点评】： 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键16. 已知命题A是命题B的充分不必要条件，命题B是命题C的充要条件，则命题C是命题A的_条件 参考答案：必要不充分略17. 已知，且为幂函数，则的最小值为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分8分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求（1）的面积； （2）异面直线与所成角的大小. 参考答案：（1）【】（2）【 】19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥PABC
6、D的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点。（1）求证：平面ABCD；（2）求证：（3）若二面角DPAO的余弦值为，求PB的长。参考答案：解之得，所以为所求20. 已知抛物线E：y2=4x的焦点F为椭圆M：（ab0）右焦点，两曲线在第一象限内交于点P，且|PF|=（）求椭圆M的方程；（）过点F且互相垂直的两条直线l1与l2，若l1与椭圆M交于A、B两点，l2与抛物线E交于C、D两点，且|CD|=4|AB|，求直线l1的方程参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（I）通过抛物线方程可知c=1，利用P（，）及椭圆定义可知=2，进而可得结论；（I
7、I）通过分析确定直线l1的斜率存在且不为0，通过设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l1：y=k（x1），直线l2：y=（x1），利用两点间距离公式及|CD|=4|AB|可求出k的值，进而可得结论【解答】解：（I）由已知，F（1，0），即c=1，由|PF|=且点P在第一象限内，可知P（，），由椭圆定义可知2a=+=4，即a=2，b2=a2c2=3，椭圆M的方程为：；（II）由题可知，直线l1的斜率必存在当直线l1的斜率为0时，则直线l2的斜率不存在，此时|CD|=4，|AB|=4，不满足题意；当直线l1的斜率存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1：y=k（x1）
8、，则直线l2：y=（x1），联立直线l1与椭圆M的方程，消去y得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，从而|AB|=|x1x2|=?=，联立直线l2与抛物线E的方程，消去y得： x22（+2）x+=0，从而|CD|=x1+x2+2=+2=4（k2+1），由|CD|=4|AB|可知=k2+1，解得：k=，所以直线l1的方程为：3x2y321. 武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方
9、图：现从年龄在42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在47,52内的人数为，求；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：劳动节当日客流量X频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每
10、年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：劳动节当日客流量XA型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大？参考答案：（1）；（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大【分析】（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几
11、何分布概率计算公式，计算出.（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.可得.（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.当投入2艘A型游船时，若，则，此时；若，则，此时；此时Y的分布列如下表：Y2.56P此时（万元）.当投入3艘A型游船时，若，则，此时；若，则，此时；若，则，此时；此时Y的分布列如下表：Y25.59P此时（万元）.由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获
12、得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22. 设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN+（）求an的通项公式及前n项和Sn；（）已知bn是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案【解答】解：（）由题意可得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=13n1=3n1，由求和公式可得Sn=；（）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列bn的公差为d，可得b3b1=10=2d，解得d=5故T20=203+=1010【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题
