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1、2022年湖南省湘潭市县中路铺荷塘中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： 与相交与相交或重合 与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是（）A1B2C3D4参考答案：D2. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据可得正确的选项.【详解】设，A，C，D均是错误的，选B .【点睛】本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.3. 已知cd, ab0, 下列
2、不等式中必成立的一个是（ ） Aa+cb+d Bacbd CadbcD参考答案：B4. 若、分别是的等差中项和等比中项，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：C略5. 若,则有 ( )A.最小值1 B.最大值1 C.最小值 D.最大值参考答案：A6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD参考答案：A【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an
3、=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选A7. 若的三个内角满足，则是 （ ）（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.参考答案：C8. 已知正方体ABCDABCD，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且，则等于（）A +B +C +D +参考答案：D【考点】空间向量的加减法【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用【分析】如图所示， =+， =， =+， =， =，代入化简即可得出【解答】解：如图所示， =+， =， =+， =， =，=+故选：D【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力
4、与计算能力，属于中档题9. 若点的坐标是，F是抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使得取得最小值，则点的坐标是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C略10. 函数的单调递增区间是A. (,2)B. (,1)C. (1,+)D. (4,+) 参考答案：D由0得：x(?,?2)(4,+)，令t=，则y=lnt，x(?,?2)时,t=为减函数；x(4,+)时,t=为增函数；y=lnt增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+)，故选：D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内
5、层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.简称为“同增异减”.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点(0,1)处的切线方程为_参考答案：【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程【详解】曲线y（13a）ex在点（0，1），可得：113a，解得a0，函数f（x）ex的导数为f（x）ex，可得图象在点（0，1）处的切线斜率为1，则图象在点（0，1）处的切线方程为yx+1，即为xy+10故答案为：xy+10【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题12. 实
6、数x，y满足x2+y24x+3=0，则的最大值是参考答案：【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】圆即 （x2）2+y2=1，而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值由于OA=2AN=2AM，故有NOA=MOA=30，故ON的斜率等于tan30=，为所求的最大值【解答】解：x2+y24x+3=0 即 （x2）2+y2=1，表示以A（2，0）为圆心，半径等于1的圆而表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，如图所示：ON OM为圆的两条切线，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率取得最值由于OA=2AN=2AM，故有NOA=MOA=30，故
7、ON的斜率等于tan30=，为最大值，故答案为：【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式，直线和圆的位置关系，属于中档题13. 如图，过椭圆（ab0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是 参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可【解答】解：AOP是等腰三角形，A（a，0）P（0，a）设Q（x0，y0），=2，（x0，y0a）=2（ax0，y0），解得代入椭圆方程得+=1，化为=e=故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键1
8、4. 在中，若，则外接圆半径运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径= 参考答案：略15. 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域在内随机取一点，则该点落在中的概率为 。参考答案：略16. 设an是等比数列，且，则an的通项公式为_参考答案：，【分析】先设的公比为，根据题中条件求出公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，因此，.故答案为，17. 设函数表示除以2的余数，表示除以3的余数，则对任意的，给出以下式子：，其中正确式子的编号为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文
9、字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分） 在如图所示的几何体中,是边长为的正三角形,平面,平面平面,且. （1）证明：/平面；（2）证明：平面平面；（3）求该几何体的体积.参考答案：证明:(1) 取的中点,连接、,由已知,可得：， 又因为平面平面,平面平面， 所以平面， 因为平面, 所以， 又因为平面,平面， 所以平面. 4分 (2)由(1)知,又, , 所以四边形是平行四边形,则有， 由（1）得,又,平面, 所以平面， 又平面,所以，由已知, ,平面， 因为平面, 所以平面平面. 10分 (也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系)（3），平面， 11分，易得四边形为矩形其面积，
10、12分故该几何体的体积=. 14分19. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表甲273830373531 乙332938342836（1）画出茎叶图（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、极差，并判断选谁参加比赛更合适参考答案：【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【专题】概率与统计【分析】（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数（2）做出甲、乙的中位数及平均数，极差，然后进行比较【解答】解：（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数（2）甲：甲=（27+38+30+37+35+31）=33，中位数是33，
11、极差11；乙：乙=（33+29+38+34+28+36）=33，中位数是33.5，极差10综合比较选乙参加比赛较为合适【点评】本题考查茎叶图的知识，注意茎叶图的画法，对于所给的两组数据求出两组数据的平均数、中位数、极差，然后进行比较20. （10分）已知展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项参考答案：21. 已知数列an中，且 （1）求证：数列是等差数列；（2）令，求数列bn的前n项和Sn参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）由两边同除以，化简整理，即可证明结论成立；（2）根据（1）的结果，求出，再由错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）因为数列中，所
12、以，即；因此，数列是以4为公差的等差数列；（2）因为，所以，由（1）可得；所以；又数列的前n项和为，所以则得，整理得【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，考查错位相减法求数列的和，熟记等差数列的概念以及错位相减法求和即可，属于常考题型.22. 已知椭圆（ab0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆M的方程；（）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 【专题】计算题【分析】（）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，根据椭圆的几何性质得出2a
13、+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；（）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题【解答】解：（）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，所以a=3，所以b=1，椭圆M的方程为（）不妨设直线AB的方程x=ky+m由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m29=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，因为以AB为直径的圆过点C，所以 由 ，得 （x13）（x23）+y1y2=0将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得 （k2+1）y1y2+k（m3）（y1+y2）+（m3）2=0将 代入上式，解得 或m=3（舍）所以，令D是直
