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1、湖南省怀化市罗旧镇中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足为虚数单位,则z的虚部为（ ）A. 2iB. 2C. 2D. 2i参考答案：C【分析】利用复数的除法运算化简的形式，由此求得的虚部.【详解】依题意，故的虚部为，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ） A.异面或平行 B.异面 C.相交 D.相交或异面 参考答案：D略3
2、. 已知椭圆,过椭圆的右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于两点，设椭圆的左焦点，若为正三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.B. C. D. 参考答案：C4. 某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是A 10x200 B 10x200C 10x200 D 10x200参考答案：A略5. 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点，若=，则点A的坐标是 （ ）A B C D参考答案：B略6. 已知F1（3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C一条射线D不存在参考答案：B【考点】轨迹方程【分析】利用已知条件
3、，结合双曲线定义，判断选项即可【解答】解：F1（3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|PF2|=4，因为|F1F2|=64，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题7. 两条直线和的交点在第四象限，则的取值范围是A（6，2） B（，0） C（，） D（，）参考答案：C8. 过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，若切点分别为，则直线过定点（A） （B） （C） （D）参考答案：D9. 化简等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】首先用诱导公式对)进行化简，然后把进行代换，变成完全平方差形式，比较的
4、大小，最后化简.【详解】原式,因为,所以.所以.故选A.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A. 6B. 9C. 12D. 15参考答案：B【分析】通过三视图还原几的直观图，是一个条侧棱与底面垂直的三棱锥，利用三视图的数据求出几何体的体积即可。【详解】该几何体是三棱锥，如图所示：则。【点睛】本题以三视图为载体，要求还原几何体的直观图，再通过三视图的数据，考查三棱锥体积公式的应用。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列中，前项和为， 参考答案：70略12. 设p：|4x3|1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充
5、分不必要条件，则实数a的取值范围是_参考答案：0，13. 已知曲线C：（为参数），如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围为 。参考答案：略14. 命题“任意xR，都有|x1|x1|3”的否定是 。参考答案：存在xR，使得|x1|x1|315. 已知，其中a，bR，为虚数单位，则a+b= 参考答案：416. 命题：对?xR，x3x2+10的否定是参考答案：【考点】命题的否定【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案【解答】解：命题：对?xR，x3x2+10的否定是，故答案为：17. 已知M (1， 0)、N (1， 0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是
6、 参考答案：.-2,2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=x33x及y=f（x）上一点P（1，2），过点P作直线l（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程参考答案：【考点】直线的点斜式方程；导数的几何意义【分析】（1）由已知可得斜率函数为f（x）=3x23，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可（2）设另一切点为（x0，y0），求出该点切线方程，再由条件计算【解答】解：（1）由f（x）=x33x得，f（x）=3x23，过点P且以P（1，2）为切点的
7、直线的斜率f（1）=0，所求直线方程为y=2（2）设过P（1，2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），则f（x0）=3x023又直线过（x0，y0），P（1，2），故其斜率可表示为=，又=3x023，即x033x0+2=3（x021）?（x01），解得x0=1（舍）或x0=，故所求直线的斜率为k=3（1）=，y（2）=（x1），即9x+4y1=019. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点（1）证明平面；（2）证明平面 参考答案： 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，PA /
8、 EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，。 同样由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC。而平面PDC，。 由和推得平面PBC。而平面PBC，又且，所以PB平面EFD。方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且。，这表明PA/EG。而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB。（2）证明；依题意得，。又，故。
9、由已知，且，所以平面EFD。20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABC=PAD=90，侧面PAD底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1（I）求证：CD平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（I）由面面垂直的性质证出PA底面ABCD，可得PACD在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2，从而ACCD最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD平
10、面PAC；（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC利用三角形的中位线定理和已知条件BCAD且BC=AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BECF最后利用线面平行判定定理，即可证出BE平面PCD【解答】解：（I）PAD=90，PAAD又侧面PAD底面ABCD，PA?侧面PAD，且侧面PAD底面ABCD=AD，PA底面ABCDCD?底面ABCD，PACD在底面ABCD中，ABC=BAD=90，PA=AB=BC=，AD=1AC=，CAB=CAD=45CAD中由余弦定理，得CD=可得CD2+AC2=1=AD2，得ACCD又PA、AC是平面PAC内的相交直线，CD平面PAC（II）在PA上存在中
11、点E，使得BE平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则EF是PAD的中位线，EFAD，且EF=ADBCAD，BC=AD，BCEF，且BC=EF，四边形BEFC为平行四边形，BECFBE?平面PCD，CF?平面PCD，BE平面PCD【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题21. 设数列，2，nN*.（）求并由此猜想出的一个通项公式；（）证明由（）猜想出的结论参考答案：解：（）由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214， 3分由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式为：ann1(nN*) 6分（）证明：当n1时，a1=2，猜想成立 7分假设当nk（kN*且k1）时猜想成立，即ak=k1，那么当nk1时，ak1ak(akk)1=(k1)(k1k)1k2， 11分也就是说，当nk1时，ak1=(k1)1. 猜想成立根据和，对于所有nN*，都有an=n1. 12分略22. （12分）已知，用分析法证明：.参考答案：要证原式成立，只需证明 即证 即证 而，故只需证明而此式成立，所以原不等式得证。
