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1、广东省中山市五桂山学校高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点P走过的路程的函数关系分别记为，定义函数 对于函数，下列结论正确的个数是 . 函数的图象关于直线对称.函数值域为. 函数增区间为.A1B2C3D4参考答案：C2. 已知函数,当x=a时,取得最小值,则在直角坐标系中,函数的大致图象为 ( )参考答案：B3. 某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175
2、cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：B略4. 若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）. . .参考答案：D略5. 已知函数有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 10已知，若，使得f(x1)g(x2) 则实数的取值范围是（ ）A B C D来源参考答案：A6. 等差数列的前项和为，已知，则ABCD参考答案：C7. 设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值参考答案：D【考点】函数在某点取得极值
3、的条件；导数的运算【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论【解答】解：函数f（x）满足，令F（x）=x2f（x），则F（x）=，F（2）=4?f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2F（x），则（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为（2）=e22F（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选D【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较
4、大8. 已知集合，则是（ ）A B C D参考答案：D略9. 在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A9日B8日C16日D12日参考答案：A【考点】等比数列的前n项和【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5求和即可得到答案【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成
5、等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5；设第m天相逢，则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+97m+=21125，解得：m=9故选：A10. 已知正方体的棱长为,、分别是边、上的中点,点是上的动点,过点、的平面与棱交于点,设,平行四边形的面积为,设,则关于的函数的图像大致是( ).参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在上的函数满足：当时，；.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则；若，则_.参考答案：14；略12. （在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截
6、正方体的截面面积为_参考答案：13. 若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为 参考答案： 14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则=_参考答案：0【分析】利用奇函数的性质可以求出，最后求出的值.【详解】，所以.【点睛】本题考查了复合函数求值问题，考查了奇函数的性质，考查了运算能力.15. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0x2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）a|x|（a0），在区间3，3上至多有9个零点，至少有5个零点，则a的取值范围是参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用【分析】由题意可得f（x）是周期为4的周期函数，作
7、出y=f（x）在0，3上的图象，可得y=ax（a0）分别与函数y=4x2+12x8及y=4（x1）2+12（x1）8的图象相切，再由判别式等于0求得a值，即可求得a的取值范围【解答】解：由题意可知，f（2）=0f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），可知f（x）是周期为4的周期函数，又函数f（x）=，作出其在0，3上的图象如图：要使函数g（x）=f（x）a|x|（a0），在区间3，3上至多有9个零点，至少有5个零点，则函数y=ax（a0）与y=f（x）在区间（0，3上至多有4个零点，至少有2个零点，联立，得4x2+（a12）x+8=0，由=a224a+16=0，得a=128；联立，得4x2
8、+（a20）x+24=0，由=a240a+16=0，得a=函数g（x）=f（x）a|x|（a0）在区间3，3上至多有9个零点，至少有5个零点的a的取值范围是故答案为：16. 双曲线 的渐近线方程为 ；离心率等于 参考答案：y=；【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程以及离心率即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=；a=1，b=，c=，所以双曲线的离心率为：故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力17. 抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为参考答案：（ 1，2）【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程设P点
9、坐标，分别表示出其到准线方程和到原点的距离，使其相等进而求得a，则P的坐标可得【解答】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=2a2+2=，求得a=2点P的坐标为（ 1，2）故答案为：（ 1，2）【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题12分）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知, ,且求角B的大小 若b=1，求ABC面积的最大值。参考答案：1）， ，, B=。5分2） ，当且仅当取等19. （本小题满分12分）将正整数2012表示成个
10、正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（III）设对任意的15且|2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.参考答案：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. 2分（II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. 4分由x1+x2+x3 +x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|1（ 1ij5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x22，令，.有， =，同时S=，这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|1（ 1ij5）. 8分因此当x1=x2=x3
11、 =402，x4=x5=403时，S取得最大值.（III）由x1+x2+x3 +x4+x5=2012且|xi-xj|2,只有1 x1=401，x2=402，x3 =x4=x5=403；x1=x2=x3 =402，x4=x5=403；x1=x2=x3 =x4=402，x5=404；三种情况 而在时，根据（2）知原式取得最大值；在时，设t=402，=10t2+8t，在时, 设t=402，=10t2+8t. 因此在时S取得最小值. 12分20. 设为等差数列的前项和，已知.（1）求；（2）设，数列的前项和记为，求.参考答案：（1）设数列的公差为，由题得 3分解得， 5分 6分（2）由（1）得， 8分
12、 10分 12分略21. （12分）已知向量=(，)，=(1，)，且=，其中、分别为的三边、所对的角.（）求角的大小；（）若，且，求边的长.参考答案：22. 如图，在三棱锥P-ABC中，D为线段AB上一点，且，PD平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）求二面角P-AC-D的平面角的余弦值参考答案：（1）见解析；（2）（1）因为，所以，所以是直角三角形，；在中，由，不妨设，由得，在中，由余弦定理得，故，所以，所以；因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面（2）因为平面，所以与平面所成的角为，即，可得为等腰直角三角形，由（1）得，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，因为，则由，得，令，则，则为平面的一个法向量，故，故二面角的平面角的余弦值为
