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1、福建省南平市古楼中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设是非零向量,若函数的图像是一条直线,则必有( )A. B. C. D. 参考答案:A2. 已知a0且a1,若函数f(x)= loga(ax2 x)在3,4是增函数,则a的取值范围是( )A(1,+) B C D参考答案:A略3. 函数的部分图象如图示,则将的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为A B C D参考答案:D略4. 公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛
2、跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为( )A. B. C. D. 参考答案:B根据条件,乌龟每次爬行的距离构成等比数列,公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时,乌龟爬行的总距离为故选5. 已知复数z=1+i,则A.2i B.2i C. 2 D. 2参考答案:答案:A6. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则
3、角B的值为( )A. B. C. D.参考答案:A由余弦定理,得,即,由,知角.选.7. 已知F是椭圆的右焦点,过点F作斜率为2的直线使它与圆相切,则椭圆离心率是 ( ) A B C D参考答案:C8. 已知,若的最小值,则t的取值范围为A.B.C.D.参考答案:D略9. 函数的图像为( ) 参考答案:【知识点】函数的图象;指数函数的图像与性质B6 【答案解析】D 解析:由题设条件,当x1时,f(x)=(x)=当x1时,f(x)=(x)=(x)=x故f(x)=,故其图象应该为综上,应该选D【思路点拨】观察题设中的函数表达式,应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号,化简之后再分段研究其图象10.
4、已知函数f(x)=sinx(0)的最小正周期为,则下列直线为f(x)的对称轴的是()Ax=Bx=Cx=Dx=参考答案:C【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据函数f(x)的最小正周期求出的值,再写出f(x)的对称轴,从而得出答案【解答】解:函数f(x)=sinx(0)的最小正周期为T=,=2,f(x)=sin2x;令2x=+k,kZ,x=+,kZ;当k=0时,x=是f(x)的一条对称轴故选:C【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (不等式选做题)若不存在实数使成立,则实数的取值集合是_参考答案:的几何意义为x轴
5、上到点3和1的距离和,所以的最小值为2,因此实数的取值集合是。B (几何证明选做题) )如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF3,FB1,EF,则线段CD的长为_【答案】【解析】如图,连结BC,BE,则1=2,2=A,又B=B,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得,解得CD=.12. 若直线与函数(的图像有两个公共点,则的取值范围是 .参考答案:略13. 不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 参考答案:C根据绝对值的几何意义可知,函数的最小值为
6、4,所以要使恒成立,则有,即,选C.14. 已知是边长为1的正三角形,平面,且,则与平面所成角的正弦值为_若点关于直线的对称点为,则直线与所成角的余弦值是_ 参考答案:,; 15. 如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的体积为 参考答案:10+40【考点】由三视图求面积、体积 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离【分析】几何体为半圆柱与三棱柱的组合体,分别计算他们的体积即可【解答】解:由三视图可知该几何体为半圆柱与三棱柱的组合体,半圆柱底面半径为2,高为5,三棱柱底面三角形一边长为4,该边上的高为4,三棱柱的高为5V=225
7、+=10+40故答案为10+40【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题16. 给出下列四个命题:若函数在区间上为减函数,则函数的定义域是当且时,有圆上任意一点关于直线的对称点M也在该圆上。所有正确命题的题号为_.参考答案:答案:(1)(4) 17. 若f(x)是幂函数,且满足,则f_.参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 【选修4-4:坐标系与参数方程】已知曲线C1:(参数R),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,点Q的极坐标为(,)(1)将曲线C2的极坐标方程化为直角坐
8、标方程,并求出点Q的直角坐标;(2)设P为曲线C1上的点,求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值参考答案:【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,可得结论;(2)利用参数方程,结合三角函数知识,求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值【解答】解:(1),得,故曲线C2的直角坐标方程为,点Q的直角坐标为(4,4)(2)设P(12cos,4sin),故PQ中点M(2+6cos,2+2sin),C2的直线方程为,点M到C2的距离=,PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值是19. 已知函数(1)求的单调区间;(2)当时,求a的取值范围参考答案:(1)见
9、解析;(2)解:(1),当时,令,解得:,且,当时,当时,故在单调递增,在,单调递减,当时,故在单调递增,在单调递减,当时,令,解得:,且,故在,单调递增,在单调递减,当时,故在单调递增,当时,且,故在,单调递增,在单调递减(2)由及(1)知:时,不合题意;时,需满足条件:极大值,解得,极小值恒成立,当时恒成立得,即,故;时,在,递增,故;时,极大值恒成立,极小值,解得,当时恒成立得,即,故,综上,的范围是20. (本小题满分12分)已知全集U=R,集合, 。求集合.参考答案:A=|2,4分B=|=|1|0=|118分UA=|2或212分21. 已知函数() 函数在点P处的切线过原点,求此切线方程;(II) 函数 ,是否存在实数,使对任意的都成立?若有求出所有满足条件的的值,若没有,说明理由。参考答案:解:(),点处的切线方程为,把点代入得,故此切线方程为(II) ,当时,递增,不满足对任意的恒成立。当时,有得,当时,递减,当时,递增,所以有恒成立令当时,递增,当时,递减, 所以 略22. 设(1)若,求最大值;(2)已知正数,满足.求证:;(3)已知,正数满足.证明: 参考答案:(2)构造函数,利用导数法证明在在上递增,在上递减.由于函数的极大值为,时,(3)利用数学归纳法证明如下:1 当时,命题显然成立;2 假设当时,命题成立,即当时,.则当,即当时,又假设略