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1、福建省南平市古楼中学高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（ ）A. B. C. D. 参考答案：A2. 已知a0且a1，若函数f（x）= loga（ax2 x）在3，4是增函数，则a的取值范围是（ ）A（1，+） B C D参考答案：A略3. 函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为A B C D参考答案：D略4. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛
2、跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选5. 已知复数z=1+i,则A.2i B.2i C. 2 D. 2参考答案：答案：A6. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则
3、角B的值为（ ）A. B. C. D.参考答案：A由余弦定理，得，即，由，知角.选.7. 已知F是椭圆的右焦点，过点F作斜率为2的直线使它与圆相切，则椭圆离心率是 （ ） A B C D参考答案：C8. 已知，若的最小值，则t的取值范围为A.B.C.D.参考答案：D略9. 函数的图像为( ) 参考答案：【知识点】函数的图象；指数函数的图像与性质B6 【答案解析】D 解析：由题设条件，当x1时，f（x）=（x）=当x1时，f（x）=（x）=（x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【思路点拨】观察题设中的函数表达式，应该 以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象10.
4、已知函数f（x）=sinx（0）的最小正周期为，则下列直线为f（x）的对称轴的是（）Ax=Bx=Cx=Dx=参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据函数f（x）的最小正周期求出的值，再写出f（x）的对称轴，从而得出答案【解答】解：函数f（x）=sinx（0）的最小正周期为T=，=2，f（x）=sin2x；令2x=+k，kZ，x=+，kZ；当k=0时，x=是f（x）的一条对称轴故选：C【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （不等式选做题）若不存在实数使成立，则实数的取值集合是_参考答案：的几何意义为x轴
5、上到点3和1的距离和，所以的最小值为2，因此实数的取值集合是。B (几何证明选做题) )如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_【答案】【解析】如图，连结BC，BE，则1=2，2=A，又B=B，,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=.12. 若直线与函数（的图像有两个公共点，则的取值范围是 .参考答案：略13. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 参考答案：C根据绝对值的几何意义可知，函数的最小值为
6、4，所以要使恒成立，则有，即，选C.14. 已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为_若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是_ 参考答案：，； 15. 如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为 参考答案：10+40【考点】由三视图求面积、体积 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，分别计算他们的体积即可【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，半圆柱底面半径为2，高为5，三棱柱底面三角形一边长为4，该边上的高为4，三棱柱的高为5V=225
7、+=10+40故答案为10+40【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题16. 给出下列四个命题：若函数在区间上为减函数，则函数的定义域是当且时，有圆上任意一点关于直线的对称点M也在该圆上。所有正确命题的题号为_.参考答案：答案：（1）（4） 17. 若f(x)是幂函数，且满足，则f_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C1：（参数R），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，点Q的极坐标为（，）（1）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐
8、标方程，并求出点Q的直角坐标；（2）设P为曲线C1上的点，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得结论；（2）利用参数方程，结合三角函数知识，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值【解答】解：（1），得，故曲线C2的直角坐标方程为，点Q的直角坐标为（4，4）（2）设P（12cos，4sin），故PQ中点M（2+6cos，2+2sin），C2的直线方程为，点M到C2的距离=，PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值是19. 已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，求a的取值范围参考答案：（1）见
9、解析；（2）解：（1），当时，令，解得：，且，当时，当时，故在单调递增，在，单调递减，当时，故在单调递增，在单调递减，当时，令，解得：，且，故在，单调递增，在单调递减，当时，故在单调递增，当时，且，故在，单调递增，在单调递减（2）由及（1）知：时，不合题意；时，需满足条件：极大值，解得，极小值恒成立，当时恒成立得，即，故；时，在，递增，故；时，极大值恒成立，极小值，解得，当时恒成立得，即，故，综上，的范围是20. （本小题满分12分）已知全集U=R，集合， 。求集合.参考答案：A=|2，4分B=|=|1|0=|118分UA=|2或212分21. 已知函数() 函数在点P处的切线过原点，求此切线方程；(II) 函数 ，是否存在实数，使对任意的都成立？若有求出所有满足条件的的值，若没有，说明理由。参考答案：解：()，点处的切线方程为，把点代入得，故此切线方程为(II) ，当时，递增，不满足对任意的恒成立。当时，有得，当时，递减，当时，递增，所以有恒成立令当时，递增，当时，递减， 所以 略22. 设（1）若，求最大值；（2）已知正数，满足.求证：；（3）已知，正数满足.证明: 参考答案：（2）构造函数，利用导数法证明在在上递增，在上递减.由于函数的极大值为，时，（3）利用数学归纳法证明如下：1 当时，命题显然成立；2 假设当时，命题成立，即当时，.则当，即当时，又假设略
