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1、广东省梅州市梅县高级中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在一个ABC中，若a=2，b=2，A=30，那么B等于( )A60B60或 120C30D30或150参考答案：B考点：正弦定理 专题：解三角形分析：将已知代入正弦定理即可直接求值解答：解：由正弦定理可得：sinB=0B180，B=60或 120，故选：B点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查2. 已知函数，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（ ） A B。 C D。参考答案：B略3. 若如图
2、2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是A BC D参考答案：B4. 已知函数，又互不相同的满足：，则的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：C5. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 20参考答案：C略6. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则PF1F2的面积等于( )AB C24D48参考答案：C考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出PF1
3、F2的面积解答：解：F1（5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6|PF1|=8，|PF2|=6，F1PF2=90，PF1F2的面积=故选C点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用7. 不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）ABCD参考答案：C【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，把可行域的面积化为两个三角形的面积求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，S四边形OBAC=SOBA+SOCA=故选：C8. 设m,n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的
4、是 ( ) A若m/B若m/C若m/D若m/参考答案：C9. 双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为( )ABCD参考答案：B考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线C：的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到解答：解：双曲线C：的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，即有c=a，则e=故选B点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题10. 设函数，则下列结论正确的是A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称C. 的最小正周期为D. 在上为增函数参考答案：C二、 填
5、空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为 参考答案：【考点】等比数列的性质【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为12. 若则的值为 _ .参考答案：略13. 设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_参考答案：014. 一组数据175,17
6、7,174,175,174的方差为_参考答案：【分析】先求出它们的平均数，再利用公式求方差.【详解】，所以，填.【点睛】样本数据的方差计算有两种方法：（1）；（2）.15. 若实数满足，则的最小值是 参考答案：，得，（时取等号）16. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M现点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径长为 .参考答案：由题意，点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧正四棱柱中，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，四棱柱的外接球的半径为，所在大圆，所对的弧长为
7、，点M经过的路径长为故答案为：17. 不等式的解集是 .参考答案：（-2,1）原不等式可等价为（x-1）(x+2)0,所以-2x1,填（-2,1）.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）已知不经过A点的直线与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，证明：参考答案：解：（）由可得，所以，2分解得，4分所以椭圆的方程为：.5分（）设，联立方程，得，解得，所以，7分，分子.10分, 12分19. ABC的内角A，B
8、，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（12cosA，2cosC1），（）若b=5，求a+c值；（）若，且角A是ABC中最大内角，求角A的大小参考答案：【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解（）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值【解答】（本大题满分12分）解：（）因为：，所以
9、，2sinAcosCsinA=sinC2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10.6分（），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（AB），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，.12分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20. （本小题满分13分）已
10、知定义在正实数集上的函数,（其中为常数，）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. ()求实数的值;()当时,恒成立,求实数的取值范围.参考答案：所以，在上为减函数，在上为增函数又故所以实数的取值范围是21. （本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为、，且满足（）=（1）求角B的大小;（2）若, 求ABC面积的最大值.参考答案：(a-c)cosB=bcosC，根据正弦定理有(sinA-sinC)cosB=sinBcosC，cosB=sinBcosCsinAcosB=sin(C+B)，即 2 sinAcosB=sinA，因为sinA0，所以cosB=，即B=.（6分）（2）因为|- |= ，所以| |=，即b2=6，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得6=a2+c2-ac，有基本不等式可知6=a2+c2-ac2ac- ac=(2- )ac，即ac3(2+ )，S=acsinB= ac，即当a=c= 时，ABC的面积的最大值为（12分）19.（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分。现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和。（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）。参考答案：
