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1、北京万寿寺中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点若四边形为矩形,则的离心率是 ( )A B C D参考答案:D2. 已知点P(x,y)为圆C:x2+y2-6x+8=0上的一点,则x2+y2的最大值是 A2 B4 C9 D16参考答案:D略3. 计算机中常用16进制,采用数字09和字母AF共16个计数符号与10进制得对应关系如下表:16进制0123456789ABCDEF10进制012345678910111213141
2、5例如用16进制表示D+E1B,则AB=( )(A) 6E (B) 7C (C)5F (D) B0参考答案:A略4. 已知命题p:任意的xR,xsin x,则p的否定形式为()A:存在xR,xsin x B:任意xR,xsin xC:存在xR,xsin x D:任意xR,xsin x参考答案:C5. 设全集,集合,则( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】利用补集的定义求出,再利用交集的定义得出集合.【详解】,因此,故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的混合运算,要充分理解补集和交集的定义,在求解无限数集之间的运算时,可以利用数轴来理解,考查计算能力,属于基础题.6. 若直线y=kx
3、+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且POQ=120(其中O为原点),则k的值为( )ABCD参考答案:A【考点】直线与圆的位置关系 【分析】直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且POQ=120(其中O为原点),可以发现QOx的大小,求得结果【解答】解:如图,直线过定点(0,1),POQ=120OPQ=30,?1=120,2=60,k=故选A【点评】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题7. 关于x的一元二次方程ax2+2x1=0有两个不相等正根的充要条件是()Aa1B1a0Ca0D0a1参考答案:B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判
4、断【分析】关于x的一元二次方程ax2+2x1=0有两个不相等正根的充要条件是:,解出即可得出【解答】解:关于x的一元二次方程ax2+2x1=0有两个不相等正根的充要条件是:,解得1a0故选:B8. 设点P在ABC的BC边所在的直线上从左到右运动,设ABP与ACP的外接圆面积之比为,当点P不与B,C重合时,()A先变小再变大B当M为线段BC中点时,最大C先变大再变小D是一个定值参考答案:D【分析】利用正弦定理求出两圆的半径,得出半径比,从而得出两圆面积比【解答】解:设ABP与ACP的外接圆半径分布为r1,r2,则2r1=,2r2=,APB+APC=180,sinAPB=sinAPC,=,=故选D
5、9. 下列不等式一定成立的是()A BC D参考答案:CA因为,所以不一定成立; B因为可能为负值,所以不一定成立;C一定成立; D不一定成立,例如时就不成立。10. 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x 0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是( )A、(3,0)(3,+) B、(3,0)(0,3) C、(,3)(3,+) D、 (,3)(0,3)参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若AB是圆x2+(y3)2=1的任意一条直径,O为坐标原点,则= 参考答案:8【考点】平面向量数量积的运算【分析】可作出图形,设圆心为C,从而
6、,而由圆的标准方程可得,而根据向量的加法和数乘的几何意义可得到,从而进行数量积的运算便可得出的值【解答】解:如图,设圆心为C(0,3),则;由圆的标准方程知,圆的半径为1,;=91=8故答案为:812. 设函数 ,若是奇函数,则的值是 . 参考答案:13. 数列的项是由1或2构成,且首项为1,在第个1和第个1之间有 个2,即数列 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列 的前项和为,则 ; 参考答案:;14. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本已知女生抽了95人,则该校的女生人数应是 人;参考答案:760 由,得;15.
7、已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有2个白球、2个黑球,从这两个箱子里分别随机摸出1个球,则恰有一个白球的概率为_.参考答案:【分析】通过分析恰有一个白球分为两类:“甲中一白球乙中一黑球”,“甲中一黑球乙中一白球”,于是分别计算概率相加即得答案.【详解】恰有一个白球分为两类:甲中一白球乙中一黑球,甲中一黑球乙中一白球。甲中一白球乙中一黑球概率为:,甲中一黑球乙中一白球概率为:,故所求概率为.【点睛】本题主要考查乘法原理和加法原理的相关计算,难度不大,意在考查学生的分析能力,计算能力.16. 椭圆内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的斜率为 ,直线方程为 .
8、参考答案: 略17. 已知若,则的最小值是 参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分,答错得零分假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响()求这名同学得300分的概率;()求这名同学至少得300分的概率参考答案:【考点】C9:相互独立事件的概率乘法公式;C5:互斥事件的概率加法公式【分析】()由题意知各题答对与否相互之间没有影响,这名同学得300分包括两种情况,一是答对第一
9、和第三两个题目,二是答对第二和第三两个题目,这两种情况是互斥的,根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果()这名同学至少得300分包括得300分或得400分,这两种情况是互斥的,根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果【解答】解:记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6()由题意知答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分,答错得零分各题答对与否相互之间没有影响,这名同学得300分包括两种情况,一是答对第一和第三两个题目,二是答对第二和第三两个题目,这两种情况是互斥的,P1=P(A1A3)+P(A
10、2A3)=P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228()这名同学至少得300分包括得300分或得400分,这两种情况是互斥的,根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.80.70.6=0.56419. 如图,四棱锥PABCD中,ADBC,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:GH平面PAD参考答案:【考点】直线与平面平行的判定【分析】(1)连接EC,推导出
11、四边形ABCE是平行四边形,从而FOAP,由此能证明AP平面BEF(2)连接FH,OH,推导出FHPD,从而FH平面PAD再求出OHAD,从而OH平面PAD,进而平面OHF平面PAD,由此能证明GH平面PAD【解答】证明:(1)连接EC,ADBC,BC=AE,BCAE,四边形ABCE是平行四边形,O为AC的中点又F是PC的中点,FOAP,又FO?平面BEF,AR?平面BEF,AP平面BEF(2)连接FH,OH,F,H分别是PC,CD的中点,FHPD,又PD?平面PAD,FH?平面PAD,FH平面PAD又O是BE的中点,H是CD的中点,OHAD,AD?平面PAD,OH?平面PAD,OH平面PAD
12、又FHOH=H,平面OHF平面PAD,又GH?平面OHF,GH平面PAD【点评】本题考查线面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养20. 已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinCccosA(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为,求b,c参考答案:【考点】解三角形【分析】(1)由正弦定理有: sinAsinCsinCcosAsinC=0,可以求出A;(2)有三角形面积以及余弦定理,可以求出b、c【解答】解:(1)c=asinCccosA,由正弦定理有:sinAsinCsinCcosAsinC=0,即sinC?(sinAcosA1)=0,又,s
13、inC0,所以sinAcosA1=0,即2sin(A)=1,所以A=;(2)SABC=bcsinA=,所以bc=4,a=2,由余弦定理得:a2=b2+c22bccosA,即4=b2+c2bc,即有,解得b=c=221. (本小题满分12分)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将AED、DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点,连接EF,.(1)求证:; (2)求三棱锥的体积.参考答案:(1) 6(2)由等体积可知= 1222. 已知函数.(1)求曲线在原点处的切线方程.(2)当时,求函数的零点个数;参考答案:(1)(2)函数零点个数为两个【分析】(1)根据导数的几何意义,即可求解曲线在原点处的切线方程;(2)由(1),求得函数的单调性,分类讨论,即可求解函数的零点个数【详解】(1)由题意,函