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1、湖南省长沙市县第四中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数且）的图象如图所示，则下列函数图象可能正确的是参考答案：由的图象可知，对于，故错误；对于，因为，故图象是递减的，故错误；对于，图象应在轴上方，故错误；故选.2. 下列函数中，周期为，且在 ， 上为减函数的是（ ）A BC D参考答案：A略3. 函数是上的增函数且，其中是锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 参考答案：A试题分析：因为函数是上的增函数，构造函数，所以也是增函数而，另一方面，综
2、合可知考点：构造法，函数的单调性.4. 已知集合，则集合等于（A） （B） （C） （D） 参考答案：B5. 6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种. A24 B36 C.48 D60参考答案：A6. 若函数，则的最小值是A.1B.C.D.参考答案：B 7. 设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea-1的大小关系为（ ）Aea-1aae Baeaea-1 C.aeea-1a Daea-1ae参考答案：B在 R 上单调递减得：，由函数在 在上的单调性知（求导）：也可取特殊值估算检验得 B 正确.【命题意图】此题考查了单
3、调性比较大小，构造函数策略.8. 已知函数f（x）=sin （2x+），其中为实数，若f（x）对xR恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是 A B C D参考答案：9. 己知等差数列的公差d0，且成等比数列，若a1=1，是数列前n项的和，则的最小值为 A4 B 3 C D参考答案：A10. 等比数列an满足，且，成等差数列，则该数列公比q为（ ）A. B. C. 4D. 2参考答案：D【分析】根据公式，先求，然后再列出，可求出.【详解】 ，解得：，成等差数列， ，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算，意在考查计算能力，属于基础题型.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分
4、,共28分11. ，计算，推测当时，有_参考答案：略12. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是 参考答案：4略13. 已知点P是双曲线：右支上一点，C的左、右顶点分别为A、B，C的右焦点为F，记，当，且时，双曲线C的离心率e= 参考答案：2由已知得，则又，则有或（舍）14. （几何证明选讲选做题）如图，在中， /， /，若，则的长为_ 参考答案：15. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系且该食品在4的保鲜时间是16小时该食品在8的保鲜时间是小时；已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么
5、到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间（填“是”或“否”）参考答案：4,是.【考点】函数的图象与图象变化【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】根据4的保鲜时间是16小时求出k，将x=8代入函数解析式求出计算温度为12的保鲜时间，可发现【解答】解：食品在4的保鲜时间是16小时，24k+6=16，解得k=t（8）=24+6=4；由图象可知在12时，温度为12，此时该食品的保鲜期为20=1小时到13时，该食品已过保质期故答案为4，是【点评】本题考查了函数图象的意义与图象变化，是基础题16. 如图，边长为1的菱形OABC中，AC交OB于点D，AOC=60，M，N分别为对角线AC
6、，OB上的点，满足，则?=参考答案：考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：先利用边长为1的菱形OABC中，AOC=60，可得|AC|=1，|OB|=，ACOB，再利用向量的加法与数量积运算，即可得到结论解答：解：边长为1的菱形OABC中，AOC=60，|AC|=1，|OB|=，ACOB=+=+=+?=故答案为：点评：本题考查向量的加法与数量积运算，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键，属于中档题17. 已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是参考答案：考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 利用分式
7、不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题利用数形结合进行求解即可解答： 解：由题意知：可行域如图，又m（x2+y2）（x+y）2在可行域内恒成立且m=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可设k=，则有图象知A（2，3），则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，由图象可知即1k，z=k+在1k，上为增函数，当k=时，z取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m，故m的最大值为，故答案为：点评： 本题主要考查线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现三、 解答题：本大题共5小
8、题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知动圆过定点且与轴截得的弦的长为（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）已知点，动直线和坐标轴不垂直，且与轨迹相交于两点，试问：在轴上是否存在一定点，使直线过点，且使得直线,，的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；否则，请说明理由参考答案：（）. (）存在符合题意的定点，且点的坐标为. 试题分析：（）设，根据题意得，整理即得.（）设存在符合题意的定点.设直线的方程为且，则.代入，整理得.由题意得，得.设，则，由题意得，即,整理可得，解得.试题解析：（）设，根据题意得， 2分整理得，所以动圆圆心的轨迹的方程是. 4分（）设存在符合题
9、意的定点.设直线的方程为且，则. 5分将代入，整理得.由题意得，即.设，则，由题意得，即,所以， 7分即9分把，代入上式，整理得， 11分又因为，所以，解得所以存在符合题意的定点，且点的坐标为. 13分考点：1.直线与圆的位置关系；2.抛物线；3. 直线与圆锥曲线的位置关系.19. 设函数.(1) 求函数的最小值；(2) 设，讨论函数的单调性；(3) 斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.参考答案：解：，令，得. 2分当时，；当时， 当时，. 4分(2) ，. 5分 当时，恒有，在上是增函数； 当时，令，得，解得；令，得，解得 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 9
10、分(3) 证：. 要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证(*). 设，则，故在上是增函数， 当时，即. 设，则，故在上是增函数， 当时，即.由知(*)成立，得证. 16分20. 已知函数，.（1）解不等式；（2）若，都有恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）.（2）(4,+) 【分析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；（2）先求得两函数的最值，转化为求解即可【详解】（1）由，得，当时，得；当时，得，即；当时，得；综上，不等式解集是.（2）若，都有恒成立，则，而，易知，当且仅当等号成立则.则，解得.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查
11、分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题21. 设数列an的前n项和为Sn，a1=1，当n2时，an=2anSn2Sn2（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）（1+Sn）k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由参考答案：【考点】数列与不等式的综合；数列递推式【分析】（1）由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可，求出Sn，再根据an=SnSn1，即可求出数列的通项公式，（2）先构造函数f（n）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成立的，求出参数k的取值范围【解答】解：（1）当n2时，an=2anSn2Sn2，an=，n2，（SnSn1）（2Sn1）=2Sn2，SnSn1=2SnSn1，2，n2，数列是以=1为首项，以2为公差的等差数列，=1+2（n1）=2n1，Sn=，n2时，an=SnSn1=，a1=S1=1，an=，（2）设f（n）=，则=1，f（n）在nN*上递增，要使f（n）k恒成立，只需要f（n）mink，f（n）min=f（1）=，0k22. 已知函数 （I） 解关于的不等式 （II）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围。参考答案：解（1） 当时无解 当 不等式解集为（） （）
