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1、雅安中学高2021级高二下期第二次月考数学试题(理)注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2请将答案正确填写在答题卡上.第I卷(选择题)一、单选题(共60分)1. 复数为虚数单位的模为( )A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】应用复数除法化简复数,即可得模.【详解】,故模为.故选:C2. 下列求导运算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.【详解】,故A错误;,故B错误;,故C错误; ,故D正确.故选:D.3. 对于命题,若是假命题,是假命题,则下列判断正确的是()A. ,都是真命题B. ,都是假命题C.
2、是真命题,q是假命题D. 是假命题,是真命题【答案】D【解析】【分析】根据命题的真值表即可判断【详解】因为是假命题,所以命题,中至少有一个为假命题,又因为是假命题,所以,都是假命题,所以为真命题,故选:D4. 曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数在点 处的导数值,根据点斜式求切线方程.【详解】因为,所以,所以,所以曲线在点处的切线斜率为,所以曲线在点处的切线方程为,即,故选:A.5. 在正四面体中,F是的中点,E是的中点,若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的运算法则即可得,再由三角形法则即可求得.【详解】根
3、据题意可得,;再由,可得.故选:A6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛,决出第一名到第五名的名次甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军,”对乙说:“你不是最差的”从这两个回答分析,5人的名次排列可能有( )不同的排列A. 36B. 54C. 60D. 72【答案】B【解析】【分析】利用特殊元素特殊位置优先考虑,结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】分三步完成:冠军有种可能,乙的名次有种可能,余下人有种可能,所以5人的名次排列有种不同情况.故选:B.7. 命题“,”是真命题的充要条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用恒成立问题
4、的建立不等式,进一步求出实数a的取值范围【详解】命题“,”为真命题,则在上恒成立,则.故选B8. 直线l的方向向量为,且l过点,则点到直线l的距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】,又,在方向上的投影,P到l距离.故选:C9. 函数的图象可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性,结合函数值,以及函数的变化趋向,即可判断选项.【详解】函数定义域为,满足,所以函数是奇函数,故排除B,设,所以在上单调递增,所以当时,故排除D;当时,故排除A.故选:C10. 三名男生和三名女生站成一排照相,男生甲与男
5、生乙相邻,且三名女生中恰好有两名女生相邻,则不同的站法共有A. 72种B. 108种C. 36种D. 144种【答案】D【解析】【分析】根据题意,利用捆绑法和插空法,再利用分布乘法原理,即可求出结果【详解】解:先将男生甲与男生乙“捆绑”,有种方法,再与另一个男生排列,则有种方法,三名女生任选两名“捆绑”,有种方法,再将两组女生插空,插入男生3个空位中,则有种方法,利用分步乘法原理,共有种.故选:D【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识,还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题,考查学生分析解决问题的能力11. 设,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
6、析】构造函数,研究其单调性,进而可以比较a,b,c的大小.【详解】令,则,所以时,单调递减,时,单调递增, ,因为,所以.故选:D.12. 已知是偶函数的导函数,若时,则使得不等式成立的x的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,求导得,进而可得时,单调递增,由于为偶函数,推出为奇函数,进而可得在上单调递增,由于,则,由于,则,推出,即可得出答案【详解】设,由题意得时,单调递增,因为为偶函数,所以,所以,所以为奇函数,所以在上单调递增,因为,所以,因为,所以,所以,所以,故选:C第II卷(非选择题)二、填空题(共20分)13. 方程的复数根是_.【答案】【解析】【
7、分析】利用复数单位i的性质,解方程即可求得答案.【详解】由题意得方程即,故,故的复数根是,故答案为:14. 已知向量,且与互相垂直,则实数_.【答案】#【解析】【分析】求出,根据向量模长公式列出方程,求出.再分与两种情况,根据向量垂直列出方程,求出实数k的值.【详解】,所以,解得.当时,因为与互相垂直,所以,解得.当时,因为与互相垂直,所以,解得,综上:.故答案为:15. 如图所示,用不同的五种颜色分别为A,五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可不使用,符合这些要求的不同着色的方法共有_(用数字填写答案)【答案】540【解析】【分析】利用分步计数原理并按AD同色和
8、AD不同色分类讨论,即可求得符合这些要求的不同着色的方法数.【详解】按照的顺序依次着色:当AD同色时,不同着色的方法有; 当AD不同色时,不同着色的方法有则符合这些要求的不同着色的方法共有(种)故答案为:54016. 已知函数在点处的切线过点,则的最小值为_.【答案】12【解析】【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程,可推出,将化为,结合基本不等式即可求得答案.【详解】由函数可得,则,故函数在点处的切线方程为,即,则由题意可得,故,当且仅当,即取等号,即的最小值为12,故答案为:12三、解答题(共70分)17. 已知复数.(1)若复数为纯虚数,求实数的值;(2)若复数在复平面内对应
9、的点在第四象限,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)直接根据实部为零,虚部不为零列式计算即可;(2)直接根据实部大于零,虚部小于零列不等式计算即可;【小问1详解】,且复数为纯虚数,解得;【小问2详解】复数在复平面内对应点在第四象限,解得.18. 已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求函数在上最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为,;递减区间为 (2)最大值59,最小值为-49【解析】【分析】(1)求定义域,求导,解不等式,得到单调区间;(2)求出极值和端点值,比较后确定最值.【小问1详解】的定义域为R,且,令得,令得,所以递增区间为,递减区间;【小问2详解】x-
10、3(-3,-1)-1(-1,1)1(1,3)3+0-0+-49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数在上的最大值为59,最小值为 -49.19. 设:实数满足,:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据为真,则真且真,即可求实数的取值范围;(2)根据是的充分不必要条件,列出不等式即可求实数的取值范围【小问1详解】由得,当时,即为真时,实数的取值范围是,由,解得,即为真时,实数的取值范围是,若为真,则真且真,故实数的取值范围是.【小问2详解】由得,又,.若是的充分不必要条件,
11、则,且.,且.是的充分不必要条件.设,则.且等号不同时取到,解得.实数的取值范围是.20. 如图,在正四棱柱中,M是棱上任意一点(1)求证:;(2)若M是棱的中点,求异面直线AM与BC所成角的余弦值【答案】(1)证明过程见解析 (2)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量证明线线垂直;(2)在第一问的基础上,利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【小问1详解】证明:以A为原点,AB,AD,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,因为,所以,所以;【小问2详解】M是棱的中点,故,则,设异面直线AM与BC所成角的大小为,则,故异面直线AM与BC所成角的余弦值为.21.
12、如图,在直三棱柱中,点D是的中点,点E在上,平面.(1)求证:平面平面;(2)当三棱锥的体积最大时,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)取中点,连接、,由三角形的中位线定理可得,进而由直三棱柱可得,所以平面,再由平面,得,再由线面垂直的性质可得平面,从而推出平面,再由面面垂直的性质即可证明;(2)由(1)知平面,当三棱锥的体积最大时,设出,结合立体几何的体积公式,和基本不等式可求出,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出直线的方向向量与平面的法向量,利用向量的夹角公式,结合向量的夹角与线面角的关系,即可求解.【小问1详解】取中点,连接、,如图所
13、示:,点是的中点,又是的中点,又在直三棱柱中,有, 平面,平面,平面,且面,平面平面,平面,且平面,又,且、平面,平面,又,平面,平面,面平面.【小问2详解】由(1)知平面,则,设,则,由基本不等式知,当且仅当时等号成立,即三棱锥的体积最大,此时,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示:则有,设平面的一个法向量为,则有,取,解得,设直线与平面所成的角为,故直线与平面所成角的正弦值为.22 已知函数(1)讨论的单调性;(2)若方程有两个不同的实数根,求的取值范围【答案】(1)答案见解析 (2)【解析】【分析】(1)对求导,分类讨论和时的正负,即可得出的单调性;(2)解法一:“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”对求导,讨论的单调性和最值,即可得出答案;解法二:由方程得,转化为与的图象有两个交点,对求导,得出的单调性和最值即可得出答案.【小问1详解】由条件知,当时,在上恒成立,所以在单调递增当时,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增【小问2详解】解法一:由方程得,“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”,当时,在上是增函数,最多