江苏省常州市金坛市第三高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

江苏省常州市金坛市第三高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（　　） A． B．（3，+∞） C． D． 参考答案： C 【考点】导数的运算． 【分析】根据新定义得到x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可 【解答】解：f′（x）=x2﹣2x， 设=b2﹣b， 由已知可得x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根， 令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b， 则， 解得＜b＜3， 故选：C 2. 抛物线y2=4x的焦点坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，） D．（，0） 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2， ∴焦点坐标为：（1，0）． 故选B． 【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题． 3. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（）． A．3 B． C．27 D． 参考答案： B 解：∵抛物线上一点到其焦点的距离为， ∴，解得，， ∴点到坐标原点的距离为． 故选． 4. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件            B．必要不充分条件   C．充要条件                　 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 5. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则（ ） A．8         B．12       C. 16         D．52 参考答案： C 由题意得 ，选C. 6. 已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(   )   A．(0,3)  B．(0,3]C．(0,2)  D．(0,2] 参考答案： D 略 7. 过点M（1，2）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是(     ) A．x=1 B．y=1 C．x﹣y+1=0 D．x﹣2y+3=0 参考答案： D 【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程． 【专题】计算题． 【分析】由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，求出直线的斜率即可． 【解答】解：由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直， 设圆心为O，则O（2，0）， ∴KOM==﹣2． ∴直线l的斜率k=， ∴l的方程为y﹣2=（x﹣1）．即x﹣2y+3=0； 故选D 【点评】本题主要考查了直线的一般式方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题． 8. 函数的图象大致是 （     ） 参考答案： D 9. 点(0,0)到直线的距离是(    ) A.      B.      C.1       D. 参考答案： A 10. 对于平面和共面的直线，下列命题中真命题是___________ A. 若 B. 若 C. 若，则 D. 若，与所成的角相等，则 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若 , ，且为纯虚数，则实数的值为       ． 参考答案： 略 12. 函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为_________.  参考答案： 13. 抛物线的焦点坐标为：          . 参考答案： 略 14. 曲线在点 处的切线倾斜角为_________ 参考答案： 略 15. 已知点在不等式组表示的平面区域内, 则  的取值范围是___________. 参考答案： [－4，２] 16. 在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是         . 参考答案： 略 17. 有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，四个数_______ 参考答案： 25，—10，4或9，6，，18 4，2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=﹣，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣ρsinθ=8+2  距离的最小值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线． （Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ﹣距离的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（t为参数）， ∴曲线C1的普通方程为：（x﹣4）2+（y+3）2=1，… ∵曲线C2：（θ为参数）， ∴曲线C2的普通方程为：，… 曲线C1为圆心是（4，﹣3），半径是1的圆．… 曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．… （Ⅱ）当t=时，P（4，﹣4），… 设Q（6cosθ，2sinθ），则M（2+3cosθ，﹣2+sinθ），… ∵直线C3：ρcosθ﹣， ∴直线C3的直角坐标方程为：﹣（8+2）=0，… M到C3的距离d= … = = =3﹣．… 从而当cos（）=1时，d取得最小值3﹣．… 19. （本小题满分12分） 已知复数，且为纯虚数 （1）求复数； （2）若，求复数的模． 参考答案： （1） ∴，.又b为正实数 ∴b＝1.∴z＝3＋i. ，                  ………………………………6分 （2）   ………………7分                               ………………… 12分 20. 已知函数． （1）当时，求函数的定义域； （2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围． 参考答案： （2）不等式即， 时，恒有， 不等式解集是R， 的取值范围是    ————————10分 21. 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．由韦达定理得M（，）．由kOM=2，得a=2b，由OA⊥OB，得a+b=2．由此能求出a，b． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）． 联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0． ∴=， =1﹣=． ∴M（，）． ∵kOM=2，∴a=2b．① ∵OA⊥OB，∴=﹣1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2 =1﹣+=． ∴=0． ∴a+b=2．② 由①②得a=，b=． 22. 如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由． 参考答案： 由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1， 求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求． 解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2， 以A为原点，AB所在直线为x轴， AD所在直线为y轴， 建立如图所示平面直角坐标系， 则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2）， 设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0）， 代入点C（1，2）得p=， 得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1）， 欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切， 设切点为P（t，2t2），0≤t≤1， 由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t， 切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t）， 即y=4tx﹣2t2， 当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1， 令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t， 则S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t， 设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1， 则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2）， 令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1， 故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减， 故f（t）max=f（）=， 而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．