湖南省岳阳市大坪中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

湖南省岳阳市大坪中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是(     ) A．系统抽样 B．分层抽样 C．抽签抽样 D．随机抽样 参考答案： A 【考点】系统抽样方法；收集数据的方法． 【专题】应用题． 【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法． 【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号． 本题中，把每个班级学生从1到50号编排， 要求每班编号为14的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法， 故选A． 【点评】本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样． 2. 以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（　　） A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2 参考答案： A 【考点】轨迹方程． 【分析】本题宜借助图形，由图知|OP|2=|OC|2﹣|PC|2，设P（x，y），表示出三个线段的长度，代入等式整理即得． 【解答】 解：根据题意画出示意图，设圆心为C， 切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含 条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2 ∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1， 故点P的轨迹方程为x2+y2=3 故选A 3. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是    （  ） A.     B.  且   C.    D.  非A、B、C结论 参考答案： D 4. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（　　） ①从30件产品中抽取3件进行检查． ②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本； ③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈． A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 参考答案： D 【考点】收集数据的方法． 【分析】①中，总体数量不多，宜用简单随机抽样；②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人．宜用分层抽样；③中，总体数量较多，宜用系统抽样． 【解答】解：①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样； ②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样； ③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样． 故选D． 5. 已知实数x、y满足约束条件则z = x-y的最大值及最小值的和为 A．﹣3     B．﹣2        C．1         D．2 参考答案： B 6. 如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有(    ) A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 参考答案： C 根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.   7. 直线（t是参数）被圆截得的弦长等于（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线（是参数），消去参数化为普通方程：． 圆心到直线的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 故选：D． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 在△ABC中，，是边的中点，，交的延长线于，则下面结论中正确的是(   ) A. △ AED∽△ACB    B. △ AEB∽△ACD    C. △BAE∽△ACE    D. △AEC∽△DAC 参考答案： C 9. 相切，则等于（  ） A, B,   C, D, 参考答案： A 10. 设随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为(     ) A．4 B．6 C．8 D．10 参考答案： A 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题；概率与统计． 分析：根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于x=1对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于x=1对称，得到结果． 解答： 解：∵随机变量X～N（1，52）， ∴正态曲线关于x=1对称， ∵P（X≤0）=P（X＞a﹣2）， ∴0与a﹣2关于x=1对称， ∴（0+a﹣2）=1 ∴a=4， 故选A． 点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，本题是一个基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y＝f(x)在点P(5,f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝_______ 参考答案： 2  略 12. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于________ 参考答案： 略 13. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为 ▲  ． 参考答案： 略 14. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则异面直线BA1与AC1所成的角等于        . 参考答案：      15. 若椭圆=1的焦距为2，则m=　　． 参考答案： 5或 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标所在坐标轴，求解即可得到结果． 【解答】解：当m∈（0，4）时，椭圆=1的焦距为2，可得4﹣m=1，解得m=， 当m＞4时，椭圆=1的焦距为2，可得m﹣4=1，解得m=5． 故答案为：5或． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 16. 设定义在R上的函数满足：,恒成立；且其中，若，则=  ▲  ． 参考答案： -10 17. 若的二项展开式中的第3项的二项式系数为15，则的展开式中含项的系数为          ． 参考答案： 160 由二项式定理，的二项展开式中的第3项的二项式系数为， ∴有，解得. 则有，当时，得， ∴ 的展开式中含x3项的系数为160.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆O的参数方程为 (θ为参数，0≤θ≤2π)． (1)求圆心和半径； (2)若圆O上点M对应的参数，求点M的坐标． 参考答案： （1）(0，0)，2；（2）. 【分析】 (1)先求出圆的普通方程,再写出圆心坐标和半径.(2)把θ＝代入圆的参数方程即得点M的坐标. 【详解】解：(1)由 (0≤θ<2π)， 平方得x2＋y2＝4， 所以圆心O为(0，0)，半径r＝2. (2)当θ＝时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－， 所以点M的坐标为(1，－)． 【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法. 19. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （1）证明PA⊥BD； （2）设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高． 参考答案： （1）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD． 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD． 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． （2）如图，作DE⊥PB，垂足为E．已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC．由（1）知BD⊥AD， 又BC∥AD，所以BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE．则DE⊥平面PBC． 由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2．根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝， 即棱锥D－PBC的高为． 20. 已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2（2，0）与x轴垂直的直线交椭圆于点M，且|MF2|=3． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点P（0，1），问是否存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意可得：，解出即可得出． （2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）．与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣48=0，由△＞0，化为：12+16k2＞t2．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N．利用PN⊥l，及其△＞0，解出即可得出． 【解答】解：（1）由题意可得：，解得c=2，a=4，b2=12． ∴椭圆的标准方程为． （2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点． 则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）． 联立，化为（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣48=0， △=64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣48）＞0， 化为：12+16k2＞t2． ∴x1+x2=，x1x2=． ∴x0==，y0=kx0+t=． ∴kPN==， ∵PN⊥l， ∴?k=﹣1， 化为：t=﹣3﹣4k2． 代入△＞0， 可得12+16k2＞（﹣3﹣4k2）2． 化为16k4+8k2﹣3＜0， 解得：，即． 因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．直线l的斜率范围是． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由； （Ⅲ）若该市政府希