2022年广东省梅州市商业学校高二数学文上学期期末试卷含解析

2022年广东省梅州市商业学校高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设z=（i为虚数单位），则|z|=（　　） A．2 B． C．  D． 参考答案： C 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：z==， 则|z|=． 故选：C． 　 2. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是    A.           B.           C.           D. 参考答案： C 略 3. 若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有实数解，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 参考答案： B 【考点】绝对值三角不等式． 【分析】根据绝对值不等式，求出|x+1|﹣|x﹣2|的最大值等于3，从而有a2+2a小于|x+1|﹣|x﹣2|的最大值3，列出不等关系解出实数a的取值范围即得． 【解答】解：∵|x+1|﹣|x﹣2|≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3， ∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3， 由不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞a2+2a有实数解， 知3＞a2+2a，解得﹣1＜a＜3． 故选B． 　 4. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A．         B．        C．         D． 参考答案： 5. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案． 【解答】解：由题意，则 ， 化简后得m=1.5， 故选A 【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论． 6. 下列各函数中，最小值为的是 (    ) A．       B．， C．    D． 参考答案： D 略 7. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （   ）     A．           B． C．               D． 参考答案： B 略 8. 已知直线和平面，则的一个必要非充分条件是(      ) A．且                    B．且 C．且                   D．与所成角相等 参考答案： D 9. 若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线， 平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小， 由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2． 故选：B 10. 已知，则（   ）． A．       B．       C．          D．  参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是      ． 参考答案： 2 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，则        ． 参考答案： 25 略 13. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=          . 参考答案： 192 14. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A并且点A也在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由题意画出图形，把A的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a2+b2=c2求得双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|=2（x0﹣）， 又|AF|=x0+，∴2（x0﹣）=x0+ 解得x0=，y0=|AF|=p， ∵点A在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上， ∴p=，解得：， 由a2+b2=c2，得=，∴e=． 故答案为．： 15. 在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为           ． 参考答案： 略 16. 复数z满足方程i＝1－i，则z＝________. 参考答案： －1＋i 17. 在正三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=，则此正三棱锥的外接球的表面积为　　． 参考答案： 36π 【考点】球内接多面体． 【分析】由题意推出SC⊥平面SAB，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥且侧棱SC⊥侧面SAB， ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球， ∴2R=2，∴R=3，∴S=4πR2=4π?（3）2=36π， 故答案为：36π． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的四个形状相同的小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上的编号都为奇数的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上的编号之和为3的倍数的概率； （III）求取出的两个球上的编号之和大于6的概率． 参考答案： 由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数为16．    3分   （Ⅰ）记“取出的两个球上的编号都为奇数”为事件A，则事件A的基本事件有：   （1，1），（1，3），（3，1），（3，3）共4个．  ．            6分   （Ⅱ） 记“取出的两个球上的编号之和为3的倍数”为事件B，则事件B包含：   （1，2），（2，1），（2，4），（3，3）（4，2）共5个基本事件．    9分   （III）记“取出的两个球上的编号之和大于6”为事件C，则事件C包含的基本事件为： （3，4），（4，3）（4，4），共3个基本事件．  ．               12分 19. .已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程． （2）是否存在过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）；（2）存在，. 本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出和的值是解题的关键 解：⑴设椭圆的方程为，由题意得 解得，故椭圆的方程为．……………………4分 ⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得 ． 因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为， 所以 所以． 又， 因为，即， 所以． 即． 所以，解得． 因为为不同的两点，所以． 于是存在直线满足条件，其方程为．………………………………12分 20. （本题满分14分）已知函数． （1）当时，求在的最小值； （2）若存在单调递减区间，求的取值范围； （3）求证：． 参考答案： （1），定义域为． ，   在上是增函数． . （2） 因为 因为若存在单调递减区间，所以有正数解. 即有的解  当时，明显成立 . ②当时，开口向下的抛物线，总有的解； ③当时，开口向上的抛物线， 即方程有正根. 因为， 所以方程有两正根. 当时，；        ，解得． 综合①②③知：．  （3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即． 令，则有，    ． ， ．  (法二)当时，． ，，即时命题成立． 设当时，命题成立，即 ． 时，． 根据（1）的结论，当时，，即． 令，则有， 则有，即时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．  21. (本小题12分) 把一根长度为7的铁丝截成3段． （1）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； （2）如果把铁丝截成2，2，3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为，求与； （3）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率． 参考答案： （Ⅰ）设构成三角形的事件为 基本事件数有4种情况：“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”          其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”         则所求的概率是                    （Ⅱ）根据题意知随机变量       ∴                                               （Ⅲ）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为，第二段为，则第三段为       则                                                            如果要构成三角形，则必须满足：                                                则所求的概率为                                       略 22. 已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，   求实数的最小值； ⑶若过点可作曲线的三条切线， 求实数的取值范围. 参考答案： 试题解析：⑴．                      根据题意，得即解得        所以．                        ⑵令，即．得． 1 2   +     +   增 极大值 减 极小值 增 2 因为，， 所以当时，，．            则对于区间上任意两个自变量的值，都有 ，所以． 所以的最小值为4．                         ⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为． 则． 因为，所以切线的斜率为．           则=，                        即．                 因为过点可作曲线的三条切线， 所以方程有三个不同的实数解． 所以函数有三个不同的零点． 则．令，则或． 0 2 +     + 增 极大值 减 极小值 增 则 ，即，解得． 略