2022年福建省宁德市屏南县第三中学高三数学理期末试卷含解析

2022年福建省宁德市屏南县第三中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用辅助角公式化简，根据的最大值和最小值，判断分别是最大值和最小值，由此求得的最小值. 【详解】依题意，故分别是最大值和最小值. 要使取得最小值，则需是一正一负的最大值和最小值对应的横坐标，而最接近轴的最值是，故的最小值为.故选B. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换：辅助角公式，考查三角函数的最大值和最小值，属于中档题. 2. 与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 （   ） A． B．或 C． D． 或 参考答案： B【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 设与向量的夹角相等, 且模为1的向量为（x，y）， 则解得或， 【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标． 3. 设函数 对任意的 ，都有 ，若函数 ，则 的值是   A. 1               B． -5或3      C.  -2              D． 参考答案： C 4. 已知为虚数单位,则复数在复平面上所对应的点在(     ) A．第一象限     B．第二象限       C．第三象限    D．第四象限 参考答案： D 5. （理）复数的虚部是                                                 (A)          (B)             (C)              (D) 参考答案： B 6. 若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值． 【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0， ∵3cos2α=sin（﹣α）， ∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα）， ∴cosα+sinα=， ∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=， ∴sin2α=2sinαcosα=﹣． 故选：D． 　 7. 已知则（   ） （A） （B） （C）或                        （D）或 参考答案： D 试题分析：，． 考点：集合交集、并集和补集. 【易错点晴】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．注意区间端点的取舍. 8. 设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 参考答案： C 【考点】3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，可得f（f（x））＞1，即f（x）＞2，进一步转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），求解不等式得到y的范围，进一步得到a的范围得答案． 【解答】解：函数f（x）=的值域为R． ∵f（x）=2x，（x≤0）的值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）的值域为R． ∴f（x）的值域为（0，1]上有两个解， 要想f（f（x））=2a2y2+ay在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足， 必有f（f（x））＞1 （2a2y2+ay＞0）． ∴f（x）＞2，即log2x＞2，解得：x＞4． 当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系． ∴问题转化为2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0． ∴（2ay﹣1）（ay+1）＞0，解得：y＞或者y＜﹣（舍去）． ∴≤2，得a． 故选：C． 9. 定义在R上的偶函数，满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则      （  ）     A．              B．     C．              D． 参考答案： D 略 10. 已知命题,，命题，，则下列说法中正确的是（  ） A．命题是假命题         B．命题是真命题       C. 命题真命题        D．命题是假命题 参考答案： C 命题为真命题.对命题，当时，，故为假命题，为真命题.所以C正确.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （2，3] 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解． 又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2 的大致形状可知， 直线y=1 与函数f（x）= 的左右两支曲线都有两个交点， 当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1， 同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2， 当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2， 要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 则满足，即，解得2＜a≤3． 故答案为：（2，3] 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可． 12. 展开式的常数项等于          （用数字作答）.   参考答案： 答案： 13. 设实数x，y满足则的取值范围是　　． 参考答案： 略 14. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2017， =6，则S2017=　　． 参考答案： ﹣2017 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d， =﹣2017，利用=6，可得6d=6，解得d．即可得出． 【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和， ∴数列{}是等差数列，设公差为d． =﹣2017， ∵=6，∴6d=6，解得d=1， ∴=﹣2017+×1=﹣1， 解得S2017=﹣2017． 故答案为：﹣2017． 15. 设a，b∈R，关于x的方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[，2]，则ab的取值范围为　　． 参考答案： 【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围． 【解答】解：设方程（x2﹣ax+1）（x2﹣bx+1）=0的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3， 由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根， 由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则 故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2） =（1+q3）（q+q2）=+， 设t=，则=t2﹣2， 因为q∈[，2]，且t=在[，1]上递减，在（1，2]上递增， 所以t∈[2，]， 则ab=t2+t﹣2=， 所以当t=2时，ab取到最小值是4， 当t=时，ab取到最大值是， 所以ab的取值范围是：． 【点评】本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键． 16. 已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。 参考答案： （1，0） 17. 已知函数，若关于x的不等式＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是＿＿＿＿ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．    （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；    （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望． 参考答案： 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     （II）随机变量的取值为的分布列为 0 1 2 P 所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     19. 在四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O，E分别是AD，AB的中点， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线PB与平面POE所成角的正弦值； （III）在DC边上是否存在点F，使BF与PA所成角的余弦值为，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由. 参考答案： （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析. 【分析】 (Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置. 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故， 底面，底面，故， 且，故平面， 平面， (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 设平面的一个法向量为, 则：， 据此可得平面的一个法向量为， 而， 设直线与平面所成角为， 则. (Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在， 设，， 据此可得：，即：, 从而点F的坐标为， 据此可得：,， 结合题意有：，解得：. 故点F为中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. （本题满分14分） 已知向量，，函数。 （1）求函数的单调递增区间． （2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，求△ABC面积S的最大值．   参考答案： 解：因为                                          =     ………………2分                                     =         ………………3分                          ………………5分 解得： 所以的单调增区间为                ……………