山东省青岛市志诚中学高二数学理测试题含解析

山东省青岛市志诚中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食，每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，则不同的食物搭配方案种数为（   ）        A、132 B、180 C、240 D、600 参考答案： B                    【考点】排列、组合的实际应用                【解答】解：根据题意，分2步进行分析：  ①、先在5人中任选一人，选择花卷，有C51=5种情况， ②、剩余4人选择其余三种食物，先将4人分成3组，有 =6种分组方法， 将分好的3组全排列，对应三种食物，有A33=6种情况； 则不同的食物搭配方案有5×6×6=180种； 故选：B． 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先在5人中任选一人，选择花卷，②、剩余4人选择其余三种食物，此时要先将4人分成3组，再将分好的3组全排列，对应三种食物；分别求出每一步的情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．    2. 是 的（    ） A．充要条件     B．充分不必要条     C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 3. 已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（　　） A． (﹣2，2)B．(﹣，) C．(﹣，) D．(﹣，) 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率． 【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围． 【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点 故∴ 故选C． 【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题． 　 4. 已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝(　　) A.               B.               C.              D. 参考答案： A 5. 若（），则在中，正数的个数是（    ） A．16              B.72              C.86              D.100 参考答案： C 6. 如图3，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PC切⊙O于C，PC=，BP=1，则⊙O的半径为（    ） A．        B．         C．1          D． 参考答案： C 略 7. 已知，，则“”是“表示椭圆”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 【分析】 先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分。 【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B． 【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系。 8. 已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（  ） A．中位数 >平均数 >众数     B．众数 >中位数 >平均数 C．众数 >平均数 >中位数     D．平均数 >众数 >中位数 参考答案： B 9. 已知在极坐标系中，点A（2，），B（，），O（0，0），则△ABO为（　　） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： D 【考点】三角形的形状判断． 【分析】利用余弦定理可得|AB|，再利用勾股定理的逆定理即可得出． 【解答】解：|AB|==， 可得|AB|2+|OB|2=|OA|2，∴AB⊥OB． 又，∴△ABO为等腰直角三角形． 故选：D． 10. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则P的值为(   ) A、2      B、3        C、4       D、 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，则          . 参考答案： 　 12. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60o角； ④EM与BN垂直.    以上四个命题中，正确命题的序号是_____________. 参考答案： ③④ 略 13. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，若在四棱锥P-ABCD的内部有一个半径为R的球，则R的最大值为______ 参考答案： 【分析】 求出棱锥的表面积与体积，根据，即可求出内切球的半径，得到答案． 【详解】由题意可知，，且平面，平面， 所以四棱锥四个侧面均为直角三角形， 所以四棱锥的表面积， 四棱锥的体积为， 当最大时，球与棱锥的5个面均相切，球心到每个面的距离均为， 于是，即，解得． 【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征，以及棱锥的表面积公式和体积公式的应用，其中解答熟练应用几何体的结构特征，合理利用棱锥的表面积公式和体积公式，列出方程是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题． 14. 双曲线4x2﹣y2=16的渐近线方程是　　． 参考答案： y=±2x 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】将双曲线化成标准方程，得到a=2且b=4，利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案． 【解答】解：将双曲线化成标准方程，得， ∴a=2且b=4，双曲线的渐近线方程为y=±2x． 故答案为：y=±2x． 【点评】本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 15. 对于三次函数 的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：函数的对称中心为    . 参考答案： 16. 若椭圆的焦点在x轴上，则k的取值范围为      ． 参考答案： （﹣1，1） 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知条件利用椭圆定义得，由此能求出k的取值范围． 【解答】解：∵椭圆表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，解得﹣1＜k＜1． ∴k的取值范围为（﹣1，1）， 故答案为：（﹣1，1） 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 17. 有下列命题： ① “” 是 “” 的既不充分也不必要条件； ②双曲线与椭圆有相同的焦点； ③；④；⑤； 其中真命题的有：__　　　　　_____．（填命题的序号上） 参考答案： ②，④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在PD上． （Ⅰ）求证：AB⊥PC； （Ⅱ）若BM与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥M﹣ABCD的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连结AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由线面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC； （Ⅱ）结合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=，有MG=．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM与平面ABCD所成角的正切值为，得M为PD的中点，再由棱锥体积公式求得四棱锥M﹣ABCD的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，设E为BC的中点，连结AE， 则AD=EC，又AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形， 故AE⊥BC，又AE=BE=EC=， ∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC， 又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA， ∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC； （Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°， 过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=，∴MG=． 在△ABG中，由余弦定理可得：BG=， 由BM与平面ABCD所成角的正切值为，得，解得x=， ∴MG=1，即M为PD的中点． 此时四棱锥M﹣ABCD的体积为=4． 19. (本题满分14分) 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，，离心率为； (2)焦点的坐标为(5,0)，(－5,0)，渐近线方程为.   参考答案： 解：(1)因为焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为， 其中.                                              ---------------2分 由及离心率得，，所以，   ----------5分 所以，所求双曲线的标准方程为.                    --------------------7分 (2)由焦点的坐标为，知双曲线的焦点在轴上， 故设双曲线的标准方程为，且，①   ------------9分 因为渐近线方程为，所以，        ② 由①②得，，                                       ----------------12分 所以，所求双曲线的标准方程为.                        -----------------14分   20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上． （1）求证：AD⊥BF； （2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）推导出AF⊥AD，AD⊥AB，从而AD⊥平面ABEF，由此能证明AD⊥BF． （2）以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AP﹣C的余弦值． 【解答】证明：（1）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD， 又AD⊥AB，AB∩AF=A，AD⊥平面ABEF， 又BF?平面ABEF，∴AD⊥BF． （2）解：∵直线AF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AF⊥AB， 由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， ∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）， ∴=（﹣），=（﹣1，﹣1，）， 设异面直线BE与CP所成角为θ， 则cosθ==， ∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为． （3）解：∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量． 由知P为FD的三等分点，且此时． 在平面APC中，，． ∴平面APC的一个法向量．…（10分） ∴， 又∵二面角D﹣AP﹣C的大小为锐角，∴该二面角的余弦值为．…（12分） 【点评】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问