河北省邢台市育英私立中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

河北省邢台市育英私立中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知的值等于 A．                 B．           C．—                           D．— 参考答案： C 2. 在梯形中，，，，点 是边上一动点，则的最大值为 (A)          (B)8        (C)         (D)16 参考答案： B 3. 函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状． 【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=ax（0＜a＜1）； 当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣ax（0＜a＜1）， 则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是： ， 故选：D． 4. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=（　　） A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016 参考答案： B 【考点】导数的运算；函数的值． 【专题】导数的概念及应用． 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论． 【解答】解：函数的导数g′（x）=x2﹣x+3， g″（x）=2x﹣1， 由g″（x0）=0得2x0﹣1=0 解得x0=，而f（）=1， 故函数g（x）关于点（，1）对称， ∴g（x）+g（1﹣x）=2， 故设g（）+g（）+…+g（）=m， 则g（）+g（）+…+g（）=m， 两式相加得2×2014=2m， 则m=2014． 故选：B 【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法． 5. 如图，阴影区域的边界是直线及曲线，则这个区域的面积是 A.4 B.8 C. D. 参考答案： B 略 6. 已知函数，则    A.4           B．         C．一4      D． 参考答案： B 略 7. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差，则=（    ）    A．           B．           C．         D． 参考答案： C 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　） A． B． C． D．3 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论． 【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==， 故选：B． 9. 集合A＝|＝，其中＋＝5，且、∈N所有真子集个数（   ） A．3             B．7              C．15             D．31 参考答案： C 10. 半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为                          （  ）     A．8 B．16             C．32             D．64 参考答案： 答案：C 解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64．         ≤=． 等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为1的正三角形，那么______． 参考答案： 【分析】 根据函数的奇偶性求出，根据是边长为1的正三角形求出和，可得函数的解析式，从而求得的值． 【详解】由奇函数的导函数的部分图象可知 ，． 是最高点，且是边长为1的正三角形， ∴，∴，，故， 那么，故答案为． 【点睛】本题主要考查由函数部分图象求解析式，函数的奇偶性，正三角形的性质，属于基础题．   12. 设数列(n＝1，2，3…)的前n项和满足，且成等差数列．则 参考答案： 34 由已知，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)． 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an＝2n， 13. 若点A（x，y）是3000角终边上异于原点的一点，则的值为 ． 参考答案： 答案： 14. 在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=　  　． 参考答案： 1 【考点】余弦定理． 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC的值． 【解答】解：在△ABC中，∵AB=，BC=3，∠C=120°， ∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cosC，即：（）2=AC2+32﹣2×3×AC×cos120°． ∴整理可得：AC2+3AC﹣4=0，解得：AC=1或﹣4（舍去）． 故答案为：1． 15. 已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为     . 参考答案： 圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长. 16. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为             ． 参考答案： －1 向量满足， 可得， 即为， 两式相减可得， 则向量在向量上的投影为，故答案为－1.   17. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：                                                                                ； 参考答案： 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分16分） 设，其中为非零常数， 数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an＋Sn＝． （1）若k＝0，求证：数列{an}是等比数列； （2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列． 参考答案： （1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）． 因为恒成立，所以，即． 而且当时，，   ①               ， ② ①－②得 ． 若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以． 故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．  【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， 当时，，           ③           ，     ④ ③－④得 ．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数）， 而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时． (iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数）， 当时，，           ⑤           ， ⑥ ⑤－⑥得 ， 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有 ，且d=2a， 考虑到a1=1，所以． 故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为， 此时（a为非零常数）． (iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． 19. 已知函数. ⑴ 当a=0时,求f(x)的极值；     ⑵ 若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围. 参考答案： 20. （14分） 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，原点O到直线AF1的距离为 （1）求椭圆的离心率； （2）设Q1.Q2为椭圆上的两个动点，以线段Q1Q2为直径的圆恒过原点，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。 参考答案： 解析：（I）由题设，及，不妨设点，其中，于点A 在椭圆上，有，即，解得，得 直线AF1的方程为，整理得 由题设，原点O到直线AF1的距离为，即 将代入上式并化简得，得 （II）设点D的坐标为 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为 或，其中， 点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得 整理得 于是 由①式得 由知，将③式和④式代入得 将代入上式，整理得当时，直线的方程为的坐标满足方程组， 所以，由知，即，解得，这时，点D的坐标仍满足 综上，点D的轨迹方程为 21. 在中，角A，B，C所对的边分别为，已知  （I）求的值 （II）若的面积为，且，求的值. 参考答案： 解：（I）                （II）                                    22. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinA+acos（B+C）=0且， （1）求证：； （2）求a+b的值． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理． 【分析】（1）根据正弦定理可得和诱导公式即可证明， （2）由诱导公式和二倍角公式以及同角的三角函数的关系和正弦定理即可求出 【解答】（1）证明：∵bsinA+acos（B+C）=0， ∴bsinA﹣acosA=0， 又由正弦定理得sinAcosA﹣sinBsinA=0， ∵sinA≠0， 即cosA=sinB． ∴cosA=sin（+A）=sinB， ∴+A+B=π， 即C=A+B=，或B=+A， 即B﹣A=， 又sinC=， ∴B﹣A=， （2）由于，C为锐角， 则cosC=sin（﹣C）=sin2A=2sinAcosA=， 则1+2sinAcosA=（sinA+cosA）2=， ∴sinA+cosA=， ∴a+b=（sinA+cosA）=×=2．