河南省信阳市卢氏县第三高级中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

河南省信阳市卢氏县第三高级中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过抛物线焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，则为（  ）  A． 锐角三角形   B． 直角三角形    C． 钝角三角形     D．不确定 参考答案： C 2. 已知函数f(x)的导函数为，若，，则不等式的解集为 A．(0,+∞)         B．(－∞,0)    C．(－∞,0)∪(1,+∞)  D．(1,+∞) 参考答案： A 3. 在等边的边上任取一点，则的概率是    A.                B.               C.            D. 参考答案： C 当时，有，即，则有，要使，则点P在线段上，所以根据几何概型可知的概率是，选C. 4. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A. 9    B. 12    C. 18    D. 24 参考答案： B 5. 已知定义在R上的函数，当时，，且对于任意的实数，都有，若函数有且只有三个零点，则a的取值范围是（    ） A．[2,10]   B．   C．(2,10)   D． 参考答案： B 由图可知 ,选B.   6. 已知点M是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况都有可能 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据题意，可判断MF的中点到y轴的距离等于|MF|的一半，从而可知圆与y轴的位置关系是相切 【解答】解：设圆半径为R ∵F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点， ∴F（，0） 设M（，y），MF中点为N（x1，y1） ∴x1=，y1= ∵|MF|=+= ∴==x1=R ∴这个圆与y轴的位置关系是相切． 故选B． 7. 已知直线和双曲线相交于A，B两点，线段AB的中点为M.设直线的斜率为k1(k1≠0)，直线OM的斜率为k2,则k1k2=（　　） 参考答案： 8. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4－x）=f（x），且当x∈时，f（x）=则g（x）=f（x）－|1gx|的零点个数是     （A）7    （B）8    （C）9    （D）10 参考答案： D 略 9. 一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（   ） A.       B. 1     C.       D. 参考答案： D 10. 假设编拟某种信号程序时准备使用（大小写有区别），把这六个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为 （A）432个    （B）288个　　　（C）96个　　（D）48个 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 运行如图的算法，则输出的结果是               参考答案： 25 12. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：                            根据上述分解规律，若的分解中含有数35，则的值为_________. 参考答案： 6 13. 如图，圆的直径与弦交于点，， 则______． 参考答案： 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=8，则等于　 　． 参考答案： 44 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据余弦定理和向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：由a=5，b=7，c=8， 则cosA===， ∴=bccosA=7×8×=44， 故答案为：44． 【点评】本题考查了余弦定理和向量的数量积公式，属于基础题． 　 15. 已知抛物线的准线与圆心为C的圆交于A，B两点，那么_______. 参考答案： 16. 在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_________． 参考答案： 17. 若函数在点处的切线为，直线分别交轴、轴于点，为坐标原点，则的面积为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an﹣n （1）求证数列{an+1}是等比数列并求{an}的通项公式 （2）设bn=（2n+1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过Sn=2an﹣n与Sn+1=2an+1﹣（n+1）作差、整理可知an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1），进而数列{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论． （2）利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）证明：∵Sn=2an﹣n， ∴Sn+1=2an+1﹣（n+1）， 两式相减得：an+1=2an+1﹣2an﹣1， ∴an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1）， 又∵a1=2a1﹣1，即a1=1， ∴a1+1=1+1=2， ∴数列{an+1}是以4为首项、2为公比的等比数列， ∴an+1=2?2n﹣1=2n， ∴an=2n﹣1． （2）∵bn=（2n+1）（an+1）=（2n+1）2n， ∴Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n﹣1）2n﹣1+（2n+1）2n， ∴2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n﹣1）2n+（2n+1）2n+1， ∴﹣Tn=6+2（22+23+24+…+2n ）﹣（2n+1）2n+1=6+2?﹣（2n+1）2n+1=﹣2+（﹣2n+1）2n+1， ∴Tn=2+（2n﹣1）2n+1． 19. 已知数列满足，当时，. （1）用数学归纳法证明：； （2）求证：. 参考答案： （1）将代入得， 当时，成立.     假设当（，）时成立，即，     则当时，， 　　这就说明，当时结论也成立． 综上所述，．     ……………………………………………………5分 （2）因为，所以， 因此． 由（1）知，，所以，得证．……………10分 20. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面平面ABC，，. （1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C； （2）若A1A与平面ABC所成的线面角为60°，求二面角的余弦值. 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）由平面ACC1A1⊥平面ABC，结合面面垂直的性质可得BC⊥A1C，再由B1C1∥BC，得A1C⊥平面AB1C1；（2）取AC中点M，连接A1M，由已知可得A1M⊥AC，且，令AA1＝AC＝2CB＝2，则．以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，过C且平行于A1M 的直线为z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面ACB1 与平面A1B1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C1﹣AB1﹣C的余弦值． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 因为平面，所以. 因为，所以. 因为是平行四边形，且，所以是菱形，. 因为，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，因为是菱形，， 所以是正三角形，所以，且. 令，则. 所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， ，. 设平面的一个法向量为，则， 所以，得，令，则，所以. 由（1）知平面，所以是平面的一个法向量， 所以. 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 21. 已知椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线 有相同的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点，当最小时，点 恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）抛物线y2=16x的焦点坐标为（4，0）， 由题意知椭圆E：的右顶点坐标为（4，0）， 又椭圆与双曲线x2﹣y2=2有相同的焦点，∴a=4，c=2，∴b2=16﹣4=12， ∴椭圆E的标准方程：． （2）设p（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为， ∴﹣4≤x≤4．∵， ∴ =． 当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，取得最小值， 而x∈[﹣4，4]，∴4m≥4，m≥1．又点M在椭圆E的长轴上，∴﹣4≤m≤4． ∴实数m的取值范围是[1，4]． 略 22. （本小题满分12分）（理）在等比数列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a5－a4＝8，又a2、a8的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意且n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的值或范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： (1)设数列{an}的公比为q,由题意可得a5＝16,又a5－a4＝8,则a4＝8.∴q＝2. ∴an＝2n -1, n∈N* (2)∵bn＝log42n -1＝，由1=1, 得b1=0, 数列{bn}为等差数列， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝.     ∵＝， ∴＝即， ∴正整数k的值为1.