河北省秦皇岛市开发区燕山大学附属中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

河北省秦皇岛市开发区燕山大学附属中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线与圆相交于两点，且，则          参考答案： 略 2. 若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则                                                 （      ）  A．         B．1         C．2        D．4 参考答案： B 3. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（      ） A. 1个            B. 4个            C. 7个            D. 8个 参考答案： C. 4. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为（   ） A．2                B．1                 C．0              D．－1 参考答案： C 5. 已知复数，则 等于（     ）    A.           B.               C.          D. 参考答案： B 6. 已知函数，则  (    )    A、32      B、16       C、        D、 参考答案： C 7. 已知E，F，G，H分别是四面体ABCD棱AB，BC，CD，DA上的点，且，，,，则下列说法错误的是（   ） A．平面                     B．平面 C. 直线相交于同一点          D． 参考答案： B A :，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，故平面得到，选项正确. B :因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线延长后相交，可得到BD与平面EFG是相交的关系.选项不正确. D:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，由平行线的传递性得到，选项正确. 故答案为：B.   8. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为（   ）   A．1           B． 2         C． 3          D． 4 参考答案： A 9. “|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的． 【解答】解： 由|x﹣1|＜2， 得﹣1＜x＜3， 由x（x﹣3）＜0， 得0＜x＜3， 故选B． 【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断． 10. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为（   ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 57 a 69   A．50               B．54           C．56.5            D．64 参考答案： B 根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到 ,，将坐标代入方程得到a的值为54.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y满足则z=的取值范围为　　． 参考答案： [] 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： A（2，0）， 联立，解得B（5，6）， z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率， ∵， ∴z=的取值范围为[]． 故答案为：[]． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小　    　． 参考答案： 90° 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题． 【分析】将异面直线所成角转化成证明线面垂直，根据题目的条件很容易证得线面垂直，则异面直线互相垂直． 【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D 若，B1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D ∴B1A⊥面C1DB，而C1B?面C1DB ∴B1A⊥C1B，故答案为90° 【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 13. 计算：cos215°﹣sin215°=　　． 参考答案： 【考点】二倍角的余弦． 【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得， cos215°﹣sin215°=cos30°=． 故答案为：． 14. 若两个函数，在给定相同的定义域上恒有，则称这两个函数是“和谐函数”，已知，在上是“和谐函数”，则的取值范围是          ． 参考答案： 15. 双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______. 参考答案： 由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，，所以，即，所以双曲线的渐近线为，离心率。 16. 在△ABC中，∠A=60°，，则△ABC面积的范围是          . 参考答案： 17. 若函数的导函数，则函数的单调减区间是 _____ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}满足－－2＝0， n∈N﹡，且是a2，a4的等差中项．    （1）求数列{}的通项公式； （2）若＝，＝b1＋b2＋…＋，求的值． 参考答案： （1）…1分 19. 已知数列的首项为，且 . （Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 参考答案： （Ⅰ），， 则数列是以3为首项，以2为公比的等比数列， ，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，. ， ， ， 则. 20. （本小题满分14分）已知函数 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）函数的定义域为. 由，得；由，得. ∴的递增区间是，递减区间是.   （Ⅱ）∵由，得，（舍去） 由（Ⅰ）知在上递减，在上递增. 又  ，且. ∴当时，的最大值为 故当时，不等式恒成立.-------------------------------------------------9分 （Ⅲ）方程，  记 ∵ 由，得或（舍去）. 由，得. 所以在上递减，在上递增. 为使方程在区间上恰好有两个相异的实根， 只须在和上各有一个实数根，于是有 ∵ ∴实数的取值范围是.  ----------------------------------------14分 21. 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，   （1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；   （2）是否存在实数，使是以为直角顶点 的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 参考答案：    （2）联立方程，消去得，设，       则（），-----------------------------------------------------------------------8分 是线段的中点，，即， ，-----------------------------------------------------------------------------------10分 得， 若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-----11分   略 22. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题． (Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分； (Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩 在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望． 参考答案： （Ⅰ）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图， 则有，可得x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示：                      ……………4分 （Ⅱ）平均分为：……6分 （Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人， 且X的可能取值是0，1，2． 则，，=． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P       所以EX＝0×＋1×＋2×＝=．        ……………12分