2022-2023学年吉林省长春市第三十一中学高一数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市第三十一中学高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的定义域是一切实数,则的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据函数的定义域是全体实数，得到mx2+2mx+1≥0恒成立，讨论二次项系数结合判别式即可得到结论． 【详解】若函数f（x）的定义域是一切实数， 则等价为mx2+2mx+1≥0恒成立， 若m＝0，则不等式等价为1≥0，满足条件， 若m≠0，则满足， 即， 解得0＜m≤1， 综上0≤m≤1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数恒成立，结合一元二次不等式的性质是解决本题的关键． 2. 阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 (    )   A．2         B．3        C．4        D．5 参考答案： C 略 3. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 (     ) A．90°       B .60°     C. 45°        D.30° 参考答案： C 略 4. 函数f（x）=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点（　　） A．（0，1） B．（0，3） C．（1，2） D．（1，3） 参考答案： D 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【分析】利用指数型函数的性质，令x﹣1=0即可求得点的坐标． 【解答】解：∵y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）， ∴当x﹣1=0，即x=1时，y=3， ∴函数y=ax﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）． 故选：D． 5. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） （A）向右平移个单位          （B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位          （D）向左平移个单位 参考答案： D 6. 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M值域为N，则f(x)的图象可以是图中的(　　) 参考答案： B 7. 若集合,则的真子集的个数是（   ） A．1          B.2              C.3 D.4 参考答案： C 8. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（　　） A. ①②③④   B. ①②③④ C. ①②③④   D. ①②③④ 参考答案： B 9. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且csinA=acosC，则△ABC的面积为（　　） A． B．2C． D．2 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【分析】由 csinA=acosC，利用正弦定理求得tanC=，可得C=．再根据b=2，B=，可得△ABC为等边三角形，从而求得△ABC的面积ab?sinC 的值． 【解答】解：锐角△ABC中，∵csinA=acosC，∴利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC， ∴tanC=，∴C=． 再根据b=2，B=，可得△ABC为等边三角形，故△ABC的面积为ab?sinC=， 故选：A． 10. 若P（2，-1）为圆（x-1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB方程是（    ） （A）x-y-3=0    (B) 2x+y-3=0   (C) x+y-1=0    (D) 2x+y-5=0   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是   参考答案： 14. -3 略 12. 已知集合，集合B满足AUB={1,2}，则集合B有____个． 参考答案： 4 略 13.  已知函数  ，则的值为___________。 参考答案： -3 14. （5分）已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=         ． 参考答案： （x+1）2 考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 计算题． 分析： 可用换元法求解该类函数的解析式，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2即f（x）=（x+1）2 解答： 由f（x﹣1）=x2，令x﹣1=t，则x=t+1 代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2 ∴f（x）=（x+1）2 故答案为：（x+1）2． 点评： 本题考查函数解析式的求解，考查学生的整体意识和换元法的思想，属基础题． 15. 已知等差数列的公差不为，且成等比数列，则           . 参考答案： 略 16. 若指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为　　． 参考答案：   【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】先根据指数函数过点（3，8）求出a的值，再代入计算即可． 【解答】解：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8）， ∴8=a3， 解得a=2， ∴f（x）=2x， ∴f（﹣1）=2﹣1=， 故答案为：． 【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题． 　 17. 设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是           ． 参考答案： 4 【考点】子集与真子集． 【专题】计算题． 【分析】由题意判断出3是集合B的元素，且是{1，2，3，4}的子集，再由B中元素的个数一一列出集合B的所有情况． 【解答】解：∵A={1，2}，且A∪B={1，2，3}， ∴3∈B，B?{1，2，3}， ∴B={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}． 故答案为：4． 【点评】本题考察了并集的运算和子集定义的应用，找已知集合的子集时，应按照一定的顺序，做到不重不漏，这是易错的地方． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}中，，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式； （2）根据前项和公式，即可求出结果. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，所以，又， 所以公差， 所以． （2）由（1）知，， 所以 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前项和公式即可，属于基础题型. 19. (本小题满分12分) 已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）. (1) 求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）解法一：因为是与的等差中项， 所以（），即，（）   当时有                               ………………2′ 得，即对都成立      ………………2′ 又即，所以   所以.                                 ………………2′ 解法二：   因为是与的等差中项， 所以（），即，（） 由此得（）， 又，所以 （），                                                         所以数列是以为首项，为公比的等比数列.  ………………3′ 得，即（）， 所以，当时，，      又时，也适合上式， 所以.         ………………3′                         （2）原问题等价于（）恒成立. ………………1′         当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；                ………………1′           当为偶数时，等价于恒成立，       令，，则等价于恒成立，      ………………2′    因为为正整数，故只须，解得，，       所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.               ………………2 20. 求圆心在直线上，且过点的圆的标准方程． 参考答案： . 试题分析： 因为圆过两点，所以圆心在直线的垂直平分线上，求出直线的垂直平分线方程，与题设直线联立方程组即可求出圆心坐标，从而根据两点间的距离公式求出圆的半径，圆的标准方程即可得解。 试题解析： 的中点为， 的斜率， 所以的垂直平分线方程为， 又圆心在上，联立，解得， 所以圆心为（2，1）， 又圆的半径， 所以圆的方程为. 考点：圆与直线的位置关系；圆的标准方程 . 21. （本小题满分12分）   一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分) 参考答案： 解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.      在Rt△EOF中,   ,    …………………………………….. 2分       所以,    ……………………………………..  5分 于是 …………………………………………. 9分 依题意函数的定义域为……………………………12分 略 22. （本题满分12分）已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且． （1）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明； （2）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值． 参考答案： （Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面.………1分 证明如下：因为且， 所以四边形为平行四边形，则，………2分 因为平面，平面，所以平面．………4分 （Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．………………6分 因为，面，所以面， ………………7分 故．………………8分 所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，………………10分 即， 所以．ks5u 即长度的最小值为．………………12分