北京第九十二中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）
参考答案：
D
【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，
∴a≥2，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
2. 三个数的大小顺序是 ( ）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
3. 设，函数的图象可能是
参考答案：
4. 过球面上一点作球的互相垂直的三条弦，已知，，则球的半径为( )
A.1 B. C. D.
参考答案：
D
5. 已知为三个不同的平面，则（ ）
①； ②；
③； ④。
以上结论正确的是 （ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
参考答案：
A
6. 已知集合，集合，则A∩B=( )
A． B．
C． D．
参考答案：
D
由可得，
解得，所以，
根据指数函数的有关性质，求得，
从而可以求得，故选D.
7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. （5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A． {3，0} B． {3，0，1} C． {3，0，2} D． {3，0，1，2}
参考答案：
B
【考点】： 并集及其运算．
【专题】： 计算题．
【分析】： 根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．
解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
【点评】： 此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．
9. 已知函数有两个零点，则有
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. 在中，为边的三等分点，则
（ ）
A． B. C． D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?= ．
参考答案：
2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0，
故 =（ ）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，
故答案为 2．
12. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是_________.
参考答案：
13. 已知函数y=与函数y=的图象共有k（k∈N*）个公共点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，Ak（xk，yk），则（xi+yi）= ．
参考答案：
2
【考点】函数的图象．
【分析】f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于（0，1）对称，如图所示，两个图象有且只有两个交点，即可得出结论．
【解答】解：由题意，函数f（x）==2﹣，
f（﹣x）+f（x）=2，∴f（x）关于（0，1）对称，同理g（x）=关于（0，1）对称，
如图所示，两个图象有且只有两个交点，
∴（xi+yi）=2，
故答案为2．
【点评】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14. 若函数与的图象关于直线对称，则 .
参考答案：
lnx-1(x>0)
15. 记不等式的解集为，若集合中有且只有三个元素，则实数的取值范围为 ▲ .
参考答案：
答案：
16. 已知半径为r的球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱都相切，记球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线的总长度为f（r），则f（1）= ．
参考答案：
6π
【考点】球内接多面体．
【分析】由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆，即可得出结论．
【解答】解：由题意，r=1，球O与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各面的交线是半径为的圆，
∴f（1）=6×2π×=6π，
故答案为6π．
17. 已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF//BC，实数x，y满足的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则取最大值时，2x+y的值为________.
参考答案：
由题意知，，当且仅当时取等号，此时点P在EF的中点，所以，由向量加法的四边形法则可得，，，所以，即，又，所以，所以。
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在定义域上单调递增，求实数a的取值范围 .
参考答案：
（1）当时，，所以
又因为，所以切线方程为...........................6分
（2）当时，
令，
，所以
所以...........................12分
19. （12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10％，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和（）.
(Ⅰ)如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益（收益=回收资金－投资资金），求的概率分布及；
(Ⅱ)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.
参考答案：
解析：（Ⅰ）依题意，可能的取值为1，0， . ……………………2分
的分布列为（列出下表得3分）……………………………………………………5分
1
0
P
=.…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为（列出下表得2分）…8分
2
P
. ………………………10分
依题意要求≥，……………………11分
∴≤≤1. ……………………………12分
20. （本小题满分12分）
如图，在梯形中，，，，四边形为梯形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
参考答案：
【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】 (1)在梯形中，
∵∥，
∴∴
∴∴∵平面平面
平面平面，
∴
∴又 ∴
(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，
如图所示的空间直角坐标系，令 (≤≤),则
∴
设为平面的一个法向量，
由得
取则
∵是平面的一个法向量,
∴
∵≤≤,∴当=时，有最大值．
∴的最小值为
21. 设函数 .
（1）讨论的单调性.
（2）若有两个极值是和，过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
参考答案：
略
22. 设命题p:实数x满足,其中；命题实数x满足
(1)若且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）当a=1时，1
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