2022-2023学年河南省安阳市光明中学高二数学文期末试题含解析

2022-2023学年河南省安阳市光明中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设M是△ABC内一点，且，∠BAC=30°，定义f(M)=(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(，x，y)，则的最小值是………………………………………………………………………………………（    ） A、8            B、9 C、16             D、18 参考答案： D 2. 已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然数有 　 A．最大值15　　　   B．最小值15　　   C．最大值16　　　   D．最小值16 参考答案： D 3. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)． 参考答案： D 4. 已知为(0,+∞)上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有(　　) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 把,通分即可构造新函数 ，并可得到的单调性，借助单调性比较大小得答案。 【详解】解：由题意知为上的可导函数，且有， 所以，令 ，则 ， 则当 时，，， 当 时，，， 因为，当， ，即， 故答案选C。 【点睛】本题考查导数小题中的构造函数，一般方法是应用题目中给的含有导数的式子，和要求的式子猜测出需构造的函数，利用新函数的单调性求解答案。 5. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（     ） A.         B．        C．        D． 参考答案： D 略 6. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则（    ）   A．          B．       C．        D． 参考答案： B 7. 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为， 则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有， 故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为 故选：D． 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题． 8. 若为所在平面内一点，且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0，则的形状为 (    ） A．正三角形      B．直角三角形     C．等腰三角形     D．斜三角形 参考答案： C 9. 若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则该抛物线的准线方程为（　　） A．x=﹣2 B．x=4 C．x=﹣8 D．y=﹣4 参考答案： A 【考点】抛物线的标准方程． 【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程． 【解答】解：因为抛物线标准方程是y2=2px（p＞0），所以其焦点在x轴的正半轴上， 故其焦点坐标即为直线x﹣2y﹣2=0与坐标轴的交点， 所以其焦点坐标为（2，0）和（0，﹣1） 又抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在x轴上， 故焦点为（2，0），可知=2，p=4， 所以抛物线方程为y2=8x，其准线方程为：x=﹣2 故选A． 10. 用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程有有理根，那么 中至少有一个是偶数”时，应假设 A．中至多一个是偶数       B. 中至少一个是奇数      C. 中全是奇数             D. 中恰有一个偶数 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在下列四个命题中，正确的序号有________．（填序号） ①命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定 ②“”是“一元二次不等式的解集为的充要条件 ③ 存在 ④ 参考答案： ①②③ 12. 在统计学中所有考察的对象的全体叫做________其中_________叫做个体_____________叫做总体的一个样本,___________叫做样本容量 参考答案： 全体，每个对象，被抽取的对象，样本的个数 13. 命题“”的否定是                                              参考答案： ，  略 14. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为　　（注：把你认为正确的结论的序号都填上）． 参考答案： ③④ 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线． 【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面 ∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确； 故答案为：③④ 15. 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是 　（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点； ③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点； ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 参考答案： ①③⑤ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①举一例子即可说明本命题是真命题； ②举一反例即可说明本命题是假命题； ③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题； ④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=； ⑤举一例子即可得到本命题为真命题． 【解答】解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确； ②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误； 设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2）， 把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2， 两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点， 通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则③正确； ④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=，故④不正确； ⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确． 综上，命题正确的序号有：①③⑤． 故答案为：①③⑤． 16. 当太阳光线与地面成角时，长为的木棍在地面上的影子最长为_______. 参考答案： 17. 函数f（x）=x2﹣2x﹣8，若对一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立．则实数m的取值最大为　　　　　　． 参考答案： 2 考点：二次函数的性质． 专题：转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：由已知可得x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，x＞2恒成立，即m≤=（x﹣1）+﹣2，x＞2恒成立，结合基本不等式求出m的范围，可得实数m的最大值． 解答：解：∵f（x）=x2﹣2x﹣8， 若对一切x＞2均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立． 则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，x＞2恒成立， 即m≤=（x﹣1）+﹣2，x＞2恒成立， ∵x﹣1＞1， 故（x﹣1）+﹣2≥2﹣2=2， 当且仅当x=3时，（x﹣1）+﹣2取最小值2， 故m≤2， 即实数m的取值最大为2， 故答案为：2． 点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个圆心C（2，﹣1），和直线x﹣y=1相切，求这个圆的方程． 参考答案： （x﹣2）2+（y+1）2=2 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】数形结合；转化思想；直线与圆． 【分析】利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：半径r==， ∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=2． 【点评】本题考查了直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 19. （16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，)和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2． ①若m=﹣1，求点T的坐标； ②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程； （2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利用斜率公式可知：kQT=，直线QT的方程为，即， 直线QT过定点（1，0）． 【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率， ∴a=2c，， ∵点在椭圆上， ∴， 解得：c=1， ∴， ∴椭圆C的标准方程为；　 … （2）①设，其中0＜t＜2， ∵|QT|=2， ∴， 即，（*）            …（7分） ∵点Q（m，n）在椭圆上， ∴，则，代入（*）式， 得，， ∴或， ∵0＜t＜2， ∴，…（9分） ∴， 由题意，m=﹣1， ∴， ∵n＞0， ∴， 则T点坐标，…（11分） ②证明：由①可知，， ∴直线QT的斜率，…（13分） ∴直线QT的方程为， 即， ∴直线QT过定点S（1，0）． …（16分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题． 20. 已知，是夹角为60°的单位向量，且，。 (1）求； (2）求与的夹角。 参考答案： （1）＝（＝－6＋＋2＝； (2），同理得， 所以，又，所以＝120°。 21. （1）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.求双曲线C的方程。 （2）设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝－1的距离为2，求