河南省鹤壁市试验中学高二数学理联考试题含解析

河南省鹤壁市试验中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知样本x1，x2，…xm的平均数为，样本y1，y2，…yn的平均数，若样本x1，x2，…xm，y1，y2，…yn的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α≤，则m，n的大小关系为（　　） A．m＜n B．m＞n C．m≤n D．m≥n 参考答案： C 【考点】众数、中位数、平均数． 【专题】计算题；对应思想；概率与统计． 【分析】易知x1+x2+…+xm=m，y1+y2+…+yn=n，从而可得=+，从而解得． 【解答】解：由题意知， x1+x2+…+xm=m，y1+y2+…+yn=n， 故==+， 故0＜≤， 故m≤n， 故选：C． 【点评】本题考查了平均数的求法及应用． 2. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理    定价，将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到数据如右表．预计在今后的销售 中，销量与单价仍然服从 （ ，）的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润（利润=销售收入-成本），该产品的单价应定为（　　）元 A．   B．8   C．    D． 参考答案： C 略 3. 若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数．则下列命题中为真的是（　　） A．p且q B．p或q C．非p D．非p且非q 参考答案： B 【考点】复合命题的真假． 【分析】结合复合命题之间的关系进行判断即可． 【解答】解：命题p：0是偶数为真命题． 命题q：2是3的约数为假命题， 则p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题，非p且非q为假命题， 故选：B． 4. 若且，则下列四个数中最大的是   　　 A.  　　　　B.　　　C.  2ab　　　D. 参考答案： C 略 5. 下列命题中为真命题的是（   ）     A．平行于同一条直线的两个平面平行     B．垂直于同一条直线的两个平面平行     C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．     D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 参考答案： B 6. 用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗（   ） A. 3次        B. 4次        C. 5次         D.6次以上 参考答案： B 7. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（    ） A.18        B.24        C.30          D.36 参考答案： C 8. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】确定直线位置的几何要素． 【专题】数形结合． 【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果． 【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D， 由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上； 若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上； 故选C． 【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定． 9. 一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为 A. 42+6π        B. 42+10π       C. 46+6π     D. 46+10π 参考答案： B 原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.   10. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a2+a5=0，则等于（　　） A． B．5 C．﹣8 D．﹣11 参考答案： D 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比为﹣2，由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果． 【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0， ∴=0，解得q=﹣2， ∴===﹣11． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是              参考答案： 三角形的内角中至少有两个钝角 12. 已知函数y=f（x）恒满足f（x+2）=f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|在R上的零点的个数是　   　． 参考答案： 8 【考点】3P：抽象函数及其应用． 【分析】作出f（x）与y=|lgx|的函数图象，根据函数图象的交点个数得出答案． 【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2， 令g（x）=0得f（x）=|lgx|， 作出y=f（x）与y=|lgx|的函数图象如图所示： 由图象可知f（x）与y=|lgx|在（0，1）上必有1解， 又f（x）的最小值为，f（x）的最大值为1， ∵lg2＜lg=，lg4＞lg=，lg9＜1，lg11＞1， ∴f（x）与y=|lgx|在（10，+∞）上没有交点， 结合图象可知f（x）与y=|lgx|共有8个交点， ∴g（x）共有8个零点． 故答案为：8． 13. 已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】四边形ABCD面积=S△ABD+S△ABC，AC是固定的直线，可判断两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时h1，h2最大，面积最大时，利用导数求出D（2，） 再利用对称性得出C（﹣2，），|AC|=5，最后利用点到直线的距离，求出即可． 【解答】解：∵A、B是椭圆+=1的两个顶点， ∴A（4，0），B（0，3）， ∴直线AB的方程为：3x﹣4y﹣12=0， 当如图两条平行直线与AB平行时，切点为C，D， 此时四边形ABCD面积最大值：S=AC（h1+h2），kAC= y=3， y′== x=2，y=，D（2，） 根据对称性可知：C（﹣2，），|AC|=5 h1=，h2=， S=AC（h1+h2）=××= 【点评】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置故关系，利用数形结合的思想判断出最值的位置，再利用导数求解，即可得需要的点，用公式求解即可． 14. 定义在上的函数的导函数恒成立，且，若，则的最小值是    参考答案： 16 15. 函数在时取得极值，则实数_______. 参考答案： a= -2  略 16. 如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是　  　． 参考答案： 2 【考点】定积分；定积分的简单应用． 【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分． 【解答】解：曲线方程为y=x2﹣1，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是 =（x﹣）|+（）|=2； 故答案为：2． 　 17. 函数的定义域为    ▲    ． 参考答案： 「2,4) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性． 参考答案： 【考点】导数的几何意义；函数单调性的判断与证明． 【分析】（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解． （Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间． 【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b． 由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）， 所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即： 1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12 解得：a=1，b=﹣3． （Ⅱ）由a=1，b=﹣3得：f′（x）=3x2﹣6ax+3b=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3） 令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3； 又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3． 故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数， 当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数， 但当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数． 19.    如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中     ，棱，分别为D的中点.   （I ）求 >的值；   （II）求证：   （III）求. 参考答案： 以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的坐标系－                      （I）依题意得,∴   ∴   ,   ∴>=  (II) 依题意得  ∴ ,   ∴ ,, ∴       ∴  ,       ∴  ∴           (Ⅲ) 20. (本题满分14分) 已知直线（为参数），圆（为参数）  (1)当=时,求与的交点坐标; (2)过坐标原点O作的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当变化时,求P点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线. 参考答案： 解:(1)当α=时,C1的普通方程为y= (x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.（4分） 联立方程组 （6分） (2)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0.（7分） A点坐标为(sin2α,-cosαsinα).（9分） 故当α变化时,P点轨迹的参数方程为 21. 已知的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992. 求的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项．   参考答案： 略 22. （本小题满分14分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；   （2）求线段BC中点M的坐标；   （3）求BC所在直线的方程. 参考答案： （1）由点A（2，8）在抛物线上，有， 解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.------4分 （2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，(也可由向量求得) 解得，所以点M的坐标为（11，－4）．               ------9分 （3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： 由消x得， 所以，由（2）的结论得，解得 因此BC所在直线的方程为：                      ------14分