辽宁省鞍山市大营子中学2022年高三数学理期末试卷含解析

辽宁省鞍山市大营子中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一点，线段的中点M在y轴上，若△FMO(其中O是坐标原点)的周长等于椭圆半焦距的3倍，则椭圆C的离心率为 A． B. C． D． 参考答案： D 2. 已知lg2=a,   lg3=b，则lg等于 A   a-b    B  b-a     C       D  参考答案： B 3. 已知，且的终边上一点的坐标为，则等于（    ） (A)　　　　　(B)　　　　　　(C)　　　　　　　　(D) 参考答案： B 略 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　） A． B．1 C． D．2 参考答案： A 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中三视图，我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案． 【解答】解：由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以1为高的四棱锥 由于正视图是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形 故棱锥的底面面积S== 则V=== 故选A 5. 函数的单调递减区间为(       )    A (kπ－,kπ－]       B (kπ－,kπ＋)    C (kπ－,kπ－)     D  [kπ－,kπ＋) 参考答案： D 略 6. 如图,正四棱柱中, ， ，设异面直线与所成的角为,异面直线与所成的角为,则  A．    B．     C．    D． 参考答案： B 略 7. 如果函数的图象关于点成中心对称，且，则函数为        A．奇函数且在上单调递增                  B．偶函数且在上单调递增        C．偶函数且在上单调递减                   D．奇函数且在上单调递减 参考答案： D 8. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为人， 则等于      A. B. C.           D. 参考答案： B 9. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A．           B．         C．        D． 参考答案： C 10. 某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm的半圆，虚线是底边上高为1cm的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为．故选C.   8.在△ABC中，，，且△ABC的面积为，则BC=（   ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据△ABC的面积为bcsinA，可得c的值，根据余弦定理即可求解BC． 【详解】解：由题意：△ABC的面积为bcsinA， ∴c＝2． 由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA 即a2＝4+12﹣84， ∴a＝2． 即CB＝a＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查解三角形问题，涉及到三角形面积公式，余弦定理，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各条棱中，最长的棱的长度为             ． 参考答案： 12. 已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是         参考答案： 13. 在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 。 参考答案： 4或 14. 设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=　  　． 参考答案： 2 【考点】导数的运算；函数的值． 【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）． 【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex， 令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x， ∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型． 15. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为                    . 参考答案： 16. 设实数满足约束条件则的最大值为      。   参考答案： 2 略 17. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，．则的取值范围为_____． 参考答案： 【分析】 由，利用正弦定理、三角恒等变换可求得，再利用正弦定理可将转化成，利用角A的取值范围即可求出。 【详解】 由正弦定理可得： ， 可得：，， 又为锐角三角形，，可得： 均为锐角，可得：，. 故答案为： . 【点睛】本题考查了正弦定理的应用、三角恒等变换，考查了推理能力与计算能力。熟练掌握正弦定理进行边与角之间的转化是解题的关键。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）若，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最大值. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）根据绝对值不等式的解法，求得的解集.（2）根据（1）中求得的范围化简的表达式，利用柯西不等式求得的最大值. 【详解】(1)由已知得，，即，即， 即x的取值范围为．                     (2)由可得 由柯西不等式，得 .                 当且仅当，即时， 的最大值为 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查利用柯西不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 19. (本题满分l3分)已知椭圆C：的两个焦点是F1(c,0)，F2(c，0)(c>0)。 (I)若直线与椭圆C有公共点，求m的取值范围； (II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点，求|EF1|+|EF2|取得最小值时，椭圆的方程； (III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足    且，其中N为椭圆的下顶点，求直线l在y轴上截距的取值范围． 参考答案： 20. (本小题满分12分)某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下： API 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15   记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω。在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的 经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是S(ω)的表达式：学优 （2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附：       非重度污染 重度污染 合计 供暖季       非供暖季       合计     100   参考答案： （1） （2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A ……1分 由，得，频数为39，……3分 ……………………….4分 （Ⅱ）根据以上数据得到如下列联表：   非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 ……………….8分 K2的观测值……………………….10分 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分 21. 在中，内角，，的对边分别是，，，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）6． 试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到间的关系，然后由余弦定理求得，从而求角的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值． 试题解析：（Ⅰ）∵，由正弦定理得， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵，∴． （Ⅱ）在中由余弦定理知：， ∴， ∵ ， ∴，即，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为6． 考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式． 22. 如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面平面，，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 参考答案： （1）法一：取中点，连接，因是的中点，故且，又，且，所以且，故四边形为平行四边形，所以. …………3分     又平面，平面，所以平面.…………5分      （法二：取中点，证明平面平面） （2）因为平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，所以.……………………7分     取中点，因，故，又平面平面，且平面平面，故平面.……………………9分     易得，………………10分     故………………12分