重庆人民路中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

重庆人民路中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是  （　　　） 参考答案： C 2. 记不等式 所表示的平面区域为D，若对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（　　） A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，﹣1] 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，由对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即求﹣x+2y的最小值，利用其几何意义求得即可． 【解答】解：由已知得到可行域如图：由图可知，对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即c≤﹣x+2y恒成立，即c≤（﹣x+2y）min，当直线z=﹣x+2y经过图中A（1，0）时z最小为﹣1，所以c≤﹣1； 故选D． 　 3. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为  A．   B．   C．   D．   参考答案： A 略 4. 已知函数，()，若对，，使得，则实数,的取值范围是（    ） （A）,            （B）,   （C）,                （D）, 参考答案： D 略 5. 集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1} 参考答案： B 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【专题】数形结合；综合法；集合． 【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断． 【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（?UB）． A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}， 则?UB={x|x≥1}， 则A∩（?UB）={x|1≤x＜2}． 故选：B． 【点评】本题主要考查Venn图表达 集合的关系和运算，比较基础． 6. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的(   ) A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 C．充要条件           D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 7. 设是虚数单位，复数，则等于（    ） A.              B.                 C.-1               D.1   参考答案： A 8. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是 （A）11       （B）12             （C）13      （D）14 参考答案： 9. 已知的图象如右图，则函数的图象可能为 参考答案： B 由函数图象知，所以选B. 10. 在如图所示的框图中，若输出S=2，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 运行程序，当时，退出循环，输出的值，由此判断出所填写的条件. 【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，判断否，，判断否，，判断否，，判断是，输出.故选B. 【点睛】本小题主要考查根据循环结构输出结果来填写条件，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△中，，为线段上一点，若，则△的周长的取值范围是            . 参考答案： 12. 已知的三边长为，内切圆半径为 （用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积               ．   参考答案： 13. 如图，已知是圆的切线，切点为，交圆于两点， ，，则线段的长为        . 参考答案： 1 14. 在等差数列中，，，若此数列的前10项和，前18项和，则数列的前18项和___________． 参考答案： 15. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数          ． 参考答案： 128 16. 在等比数列中，已知，则_______. 参考答案： 17. 在区间[﹣π，π]内随即取一个数记为x，则使得sinx≥的概率为　　． 参考答案： 考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 由于在区间[﹣π，π]内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足sinx≥的区间长度，即可求得概率． 解答： 解：本题考查几何概型，其测度为长度 ∵sinx≥，x∈[﹣π，π]， ∴x∈[] ∴在区间[﹣π，π]上随机取一个数x，满足sinx≥的概率P=； 故答案为：． 点评： 本题考查了几何概型的运用；关键是找到sinx≥，x∈[﹣π，π]，的x的范围，利用区间长度的比，得到所求概率． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P， （1）求点P的轨迹E的方程； （2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点） ①设W（x°，y°），证明：； ②求四边形QRST的面积的最小值． 参考答案： （1）解：设动圆半径为r， 则， 由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆， 其方程为． （2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上， 则有， 又因Q，S，R，T为不同的四个点， ． ②解：若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2． 若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1， 则l1的方程为y=k1（x+1）， 联立， 得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0， 则， 同理得， ∴， 当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立． 综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为． 略 19. （本小题满分14分）已知函数，（） （1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围； （2）求函数的单调区间； （3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由 参考答案：                                                       （Ⅰ），若存在极值点， 则有两个不相等实数根。所以，  ……………2分 解得                                                    ……………3分 (Ⅱ)                                          ……………4分 当时，，函数的单调递增区间为；           ……………5分 当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 ……………7分 （Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则且。      ……………8分 不妨设。故，则。 ，该方程有解          ……………………………9分 当时，，代入方程得 即，而此方程无实数解；              …………………………10分 当时，则；                    …………11分 当时，，代入方程得 即，                          …………………………………12分 设，则在上恒成立。 ∴在上单调递增，从而，则值域为。 ∴当时，方程有解，即方程有解。               …………13分 综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。         ………………………………14分 20. 已知函数. （1）解不等式; （2）若恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案： （1）.（2） 【分析】 （1）将f(x)分段表示，分段求解不等式即可； （2）令,表示过定点的一条直线,数形结合即得解a的范围. 【详解】（1） 当时原不等式可化为,解得,解集为 当时,原不等式可化为,解得,解集为 当时,原不等式可化为,解得,解集为 综上所述,原不等式得解集为 （2）令,表示过定点的一条直线, 分别作出,的图象如下: 由图象可知, ∴a的取值范围是 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题. 21. 如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 参考答案： （1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面， 平面，所以 平面 …………6分 （2）。    …………12分 22. 某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 [40,50) 3 [50,60) 3 [60,70) 15 [70,80) 19 [80,90) 35 [90,100] 25   （1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50,60)范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 参考答案： (1)32人；（2）；（3）乙可评为年度该校优秀教师 【分析】 （1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为1可得70分以下的频率，由频率即可求解. （2）根据频数分布表有3人，有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. （3）利用平均数=小矩形的面积×小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为， 70分以下的频率为， 所以对甲教师的评分低于70分的人数：. （2）由频数分布表有3人，有3人， 记的3人为A、B、C，的3人为、、， 随机选出2人：，，，，，， ， ，，， ，，， ，，共种； 评分均在的抽取方法：， ，，共3种； 所以2人评分均在范围内的概率. （3）由频率分布直方图可得的频率为： 甲教师的平均数为： ， 乙教师的平均数为： ， 由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师. 【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.