2022年河南省郑州市巩义第四高级中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年河南省郑州市巩义第四高级中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是(   ) A、     B、     C、     D、 参考答案： C 2. 对于函数定义域中任意有如下结论： ①; ②; ③；④<. 上述结论中正确结论的序号是  (    ) A.②           B. ②③           C. ②③④           D. ①②③④ 参考答案： B 3. 设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a37+b37等于（　　） A．0 B．37 C．100 D．﹣37 参考答案： C 【考点】8F：等差数列的性质． 【分析】由题意可判数列{an+bn}也是等差数列，且为常数列，可得答案． 【解答】解：∵数列{an}、{bn}都是等差数列， ∴数列{an+bn}也是等差数列， ∵a1+b1=25+75=100，a2+b2=100， ∴数列{an+bn}的公差为0，数列为常数列， ∴a37+b37=100 故选：C． 【点评】本题考查等差数列，得出数列{an+bn}也是等差数列是解决问题的关键，属基础题． 4. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．48 B．57 C．63 D．68 参考答案： C 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个长方体和三棱柱的组合体，其表面积相当于长方体的表面积和三棱柱的侧面积和，进而求得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可得： 该几何体是一个长方体和三棱柱的组合体， 其表面积相当于长方体的表面积和三棱柱的侧面积和， 故S=2×（4×3+4×+3×）+（3+4+）×=63， 故选：C 5. 定义在R上的奇函数f(x)满足，则函数f(x)的零点个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 参考答案： D 【分析】 根据题意，可知，为的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推在这个区间上的零点，即可得出答案。 【详解】根据题意，可知，为f(x)的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推得也为f(x)的零点，所以f(x)的零点共有三个，故答案选D。 【点睛】本题主要考查奇函数图像关于零点对称的性质和函数零点个数的求解。 6. 偶函数y=f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（　　） A．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π） B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π） C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（） D．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（） 参考答案： A 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】由函数y=f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），从而有f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π），结合函数y=f（x）在[0，4]上的单调性可比较大小 【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且在[0，4]上单调递减 ∴f（﹣x）=f（x） ∴f（﹣1）=f（1），f（﹣π）=f（π） ∵1＜＜π∈[0，4] f（1）＞f（）＞f（π）即f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π） 故选A 7. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（    ）                                                     A．          B．3           C．6          D．9 参考答案： B 8. 直线的倾斜角是（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： B 9. 已知 ，则   A．0                         B．2015   C．e                         D． 参考答案： C 10. 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是(     ) A． C．（﹣∞，2] D． 参考答案： B 【考点】函数单调性的性质． 【专题】计算题． 【分析】先用配方法找出函数的对称轴，明确单调性，找出取得最值的点，得到m的范围． 【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+5转化为f（x）=（x﹣2）2+1 ∵对称轴为x=2，f（2）=1，f（0）=f（4）=5 又∵函数f（x）=x2﹣4x+5在区间上的最大值为5，最小值为1 ∴m的取值为； 故选B． 【点评】本题主要考查函数的单调性的应用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是　　． 参考答案： 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求出所求． 【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知， ∴高三每一位学生被抽到的概率是  ． 高一年级每一位学生被抽到的概率是 故答案为：． 【点评】本题考查了分层抽样方法的应用，即在各层抽取的比例是，可根据题意求出每一位学生被抽到的概率和在各层抽取的个体数． 12. 已知在上是的减函数，则实数取值范围为        ; 参考答案： 13. 函数（且）的定义域是          ，图象必过 定点            ． 参考答案： ，  14. 设为实常数,是定义在R上的奇函数,当,,若对一切成立,则的取值范围为       .  参考答案： 15. 已知函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），则实数b的值为　　． 参考答案： 3 【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法． 【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】由函数解析式画出函数图形，得到函数在[2，b]上为增函数，再由f（b）=b求得b值． 【解答】解： =， 其图象如图， 由图可知，函数在[2，b]上为增函数， 又函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2）， ∴f（b）=，解得：b=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查函数的定义域，考查了函数值域的求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是基础题． 16. 设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________． 参考答案： －3 解析：由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根， 所以m＝－3. 17. 点A（1，0）到直线的距离是                          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点． （1）证明：AC1∥平面B1MC； （2）证明：平面D1B1C⊥平面B1MC． 参考答案： (Ⅰ) 连接交于点,则是的中点， 又因为是的中点，连接,则//  ………2分 因为平面,平面, 所以//平面             ……………………4分 (Ⅱ) 平面，平面， B1C.  又且平面  …………6分 平面                      …………8分 同理， 平面           ……………10分 //，平面. 又 平面，所以平面⊥平面 …………12分 19. 已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0 （1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程； （2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程． 【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分 圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0 圆心C（﹣1，2）半径为， 圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分 解得c=1或c=﹣3…4分 ∴l或δ=1…5分 所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分 （2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合 故直线x=0…8分 当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0 由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分 则，…11分 直线方程为 综上，直线方程为x=0，…12分． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 20. 设函数. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 参考答案： 解: (1)因为方程无解，所以的判别式或有两个相等的实根为，即或 所以实数的取值范围为 (2)由题意，即 ，令 当时， 所以实数的取值范围为.      21. 已知数列{an}为等差数列，且满足，，数列{bn}的前n项和为Sn，且，. （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解； （Ⅱ）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）∵，∴， ∴，即， ∵，∴， ∴，∴， 又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴. （Ⅱ）， ∴对恒成立， 即对恒成立， 令，， 当时，， 当时，， ∴，故， 即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 22. 如图在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A(4,4)；观光带的后一部分为线段BC．   （1）求函数为曲线段OABC的函数的解析式； （2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带仅由线段MQ，QP，PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？ 参考答案： （1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为， ，解得    所以，当时，           ……………3分 因为后一部分为线段BC，， 当时， ……5分 综上，             …6分 (3)设，则 由，  得，所以点      所以，绿化带的总长度      所以当时…………………………………………12分