安徽省蚌埠市铁路中学2022年高二数学理测试题含解析

安徽省蚌埠市铁路中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（　　） A．4 B． C． D．8 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1， 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2）， AK⊥l，垂足为K（﹣1，2）， ∴△AKF的面积是4 故选C． 2. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程． 【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2 ∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，① ∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0， ∴C到渐近线的距离等于半径，即=2     ② 由①②解得：a2=5，b2=4 ∴该双曲线的方程为 故选 A 3. 的展开式中的系数为 A. 4 B. 6 C. 10 D. 20 参考答案： B 解析：由通项公式得 4. 过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．2 参考答案： B 略 5. 已知命题p：，；命题q：，，则下列说法中正确的是 A. 是假命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是假命题 参考答案： C 【分析】 先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案. 【详解】命题p，，即命题p为真， 对命题q，去 ，所以命题q为假，为真 所以是真命题 故选：C. 【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表； (3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. 6. 已知复数,其中.若z是纯虚数，则m= （A）1           （B）－1        （C）1或－1     （D）0    参考答案： A 7. 个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（     ） A．        B．       C．       D． 参考答案： B 略 8. 从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为右焦点,是椭圆与轴负半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 参考答案： D 9. 函数的图象一定过点          （   ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 参考答案： B 10. 定义运算则符合条件的复数z对应的点在(   )   A．第四象限     B.第三象限 C.第二象限     D.第一象限 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、（4，4）且与相切的圆共有  ***  个. 参考答案： 2 12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______. 参考答案： 45°13. 抛物线系在平面上不经过的区域是________，其面积等于_________。 参考答案： ； 14. 不等式的解集为_________________. 参考答案： 15. 已知实数满足，若在处取得最小值，则此时__________。   参考答案： （－1，0） 16. 已知某圆的极坐标方程为，若点在该圆上，则的最大值是_______ 参考答案： 17. 下列四个命题：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为；④已知双曲线 ，其离心率，则m的取值范围是 (－12,0). 其中正确命题的序号是___________．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ①②③④ 【分析】 ①先由直线方程求出点P坐标，进而可得出所求抛物线方程；即可判断①的真假； ②根据双曲线的焦点坐标，以及渐近线方程得到的值，进而可得出所求双曲线方程；判断出②的真假；③由抛物线方程直接得到准线方程，从而可得③的真假；④根据双曲线方程与离心率范围，求出的取值范围，即可判断出④的真假. 【详解】①因为直线可化为，由得，即，设焦点在轴上的抛物线的标准方程为，由抛物线过点，可得，所以，故所求抛物线的方程为；故①正确； ②因为双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为 ，所以，又，所以，故所求双曲线的方程为；故②正确； ③抛物线的标准方程为，所以其准线方程为；故③正确； ④因为为双曲线，所以，又离心率为， 所以，解得，故④正确. 故答案为①②③④ 【点睛】本题主要考查圆锥曲线综合，熟记圆锥曲线的方程与简单性质即可，属于常考题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 设椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16.求： （1）椭圆C的方程； （2）过点且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 参考答案： （1）设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得， 所以，过椭圆的方程为4分 （2）过点且斜率为的直线方程为，将之代入的方程，得 ，即6分 设直线与的交点为，，因为，所以线段中点横坐标为，纵坐标为9分 故所求线段中点坐标为10分 19. 一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表： 类别 A B C 数量 4 3 2 同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展． （Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率； （Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可． （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴， ∴， ∴， ∴其分布列为： ξ 2 3 4 p 数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 已知定点，，点P为 椭圆=1(a>b>0)上一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 参考答案： 解析：，，， ； ，，这时，． 21. 已知双曲线C：离心率是，过点，且右支上的弦过右焦点。. （1）求双曲线C的方程； （2）求弦的中点的轨迹E的方程； （3）是否存在以为直径的圆过原点O？,若存在，求出直线的斜率k 的值.若不存在，则说明理由.   参考答案： (1). （2），（）-------6分  注：没有扣1分 （3）假设存在，设， 由已知得： ---------   ① 所以--------② 联立①②得：无解 所以这样的圆不存在.-----------------------12分   略 22.  一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点， （1）求以、为焦点且过点的椭圆的方程； （2）从椭圆上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q. 求的最小值. 参考答案： 解析：设点关于直线的对称点， 则，解得，∴             ∵，根据椭圆的定义，得===， ∴，，. ∴椭圆的方程为.                             （2）设，，， 则，切线AM、BM方程分别为，， ∵切线AM、BM都经过点，∴，. ∴直线AB方程为，                              ∴、， ， 当且仅当时，上式等号成立. ∴的最小值为.