河南省许昌市灵井镇第一高级中学高三数学理月考试卷含解析

河南省许昌市灵井镇第一高级中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为  ，若  =3 ，则   =          （A） 2       （B）       （C）          （D）3 参考答案： B 解析：设公比为q ,则＝1＋q3＝3  T  q3＝2         于是 2. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 　考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 解答： 解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4； 若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2． 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件． 故选A． 点评： 本题主要考查充分条件与必要条件的含义． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积． 【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球， 所以：球的半径， 则：. 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查数学运算能力和转换能力. 4. i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的实部与虚部的和是            （    ）          A．0                                     B．-1                                    C．1                                     D．2 参考答案： B 5. 函数的图象关于(　　) A．y轴对称     B．直线y＝－x对称   C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称 参考答案： C 6. 已知，若，则= (      )    A.1          B.-2          C.-2或4         D.4 参考答案： D 略 7. 执行下面程序框图，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（   ） A. 7    B. 8    C. 10    D. 11 参考答案： B 8. 设为坐标平面上三点（其中），O为坐标原点，若在方向上的投影相同，则实数a与b满足的关系式为 A、4a－5b＝3　　　B、5a－4b＝3　　　 C、4a＋5b＝14　　 D、5a＋4b＝12 参考答案： A 9. 函数y=2x﹣x2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D 【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示， 由图可知，f（x）与g（x）有3个交点， 所以y=2x﹣x2=0，有3个解， 即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C， 当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D 故选：A 10. 已知，则的值为(  ) A．    B．    C．    D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角所对的边分别为．若，的面积，则的值为_____________． 参考答案：   考点：余弦定理   12. 已知　　　　　　　 参考答案： ． 因为则。   13. 函数的最小正周期为____________． 参考答案： 略 14. 若，则          ． 参考答案：   15. 已知奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=log2（x+3），则f（﹣1）=　　． 参考答案： ﹣2 考点： 对数的运算性质；函数奇偶性的性质．3930094 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据给出的函数解析式求出f（1）的值，然后利用函数的奇偶性求f（﹣1）． 解答： 解：因为当x＞0时，f（x）=log2（x+3），所以f（1）=log2（1+3）=2． 又函数f（x）为奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2． 故答案为﹣2． 点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，是基础的运算题． 16. 在中，若,，，则=                   参考答案： 由余弦定理可得，即，整理得，解得。 17. 已知函数又且的最小值等于.则的值为_________． 参考答案： 试题分析：因为                                       又因为，所以的最小值为； 故有. 所以答案为：. 考点：1.三角恒等变形公式；2.三角函数的图象和性质. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数零点的个数. 参考答案： (1) ；(2)零点的个数为2. 【分析】 （1）求出导函数，得出，即可得到切线方程； （2）根据为偶函数，只需讨论在的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论. 【详解】解:( 1)因为, 所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为； (2)因为为偶函数,   所以要求在上零点个数, 只需求在上零点个数即可. 令,得,，    所以在单调递增,在单调递减,在单调递增, 在单调递减,在单调递增 列表得: … 0 + 0 - 0 + 0 - 0 … 1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 …     由上表可以看出在()处取得极大值,在()处取得极小值， ;                                .    当且时            (或,) 所以在上只有一个零点 函数零点的个数为2. 【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解. 19. （本小题满分14分）已知函数，. （1）当，时，求的单调区间； （2）当，且 时，求在区间上的最大值． 参考答案： （1）当，时，，…………………1分 则……………………………2分 令，解得，， 当或时，有； 当时，有，………… 5分 所以的单调递增区间和，的单调递减区间． ……………………………7分 （2）当，且 时，，. 则， 令，得或．  …………………8分 ①当，即时， 此时当时，有，所以在上为减函数， 当时，有，所以在上为增函数，   ………9分 又，， 所以的最大值为；         …………………………10分 ②当，即时， 此时当时，；当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.                                                   ……………………12分                                                        ， ， 所以的最大值为，                 …………………13分 综上，在区间上的最大值为 .       …………………14分 20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D是棱AA1的中点，．   （1）证明：； （2）求二面角A1-BD -C1的大小． 参考答案： 解:（1）在中，得：，同理：， 得：面. （2）面取的中点， 过点作于点，连接， ，面面 面， 得：点与点重合且是二面角的平面角.  设，则，， 所以二面角的大小为.        （另解：利用空间向量求二面角）. 21. 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动． （1）完成下列2×2列联表：     运动 非运动 总计 男性       女性       总计 n     （2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？ （3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 参考公式：K，其中n=a+b+c+d． P（K2≥K0） 0.050 0.010 0.001 K0 3.841 6.635 10.828   参考答案： 考点： 独立性检验；独立性检验的基本思想． 专题： 计算题． 分析： （1）依据某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．即可完成表格； （2）将表格中的数据代入，得到K2≥K0=3.841，解出n即可； （3）由（2）知，即为所求． 解答： 解：（1）2×2列联表：   运动 非运动 总计 男性 女性 总计 n （2）若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，则K2≥K0=3.841 由于==， 故，即n≥138.276，又由，故n≥140， 则若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的至少有140人； （3）根据（2）的结论，本次被调查的人中，至少有人的休闲方式是运动． 点评： 本题主要考查独立性检验，本题通过创设情境激发学生学习数学的情感，帮助培养其严谨治学的态度． 22. （本小题满分13分）已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点,是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知菱形EFGH的顶点E、G在椭圆C1上，顶点F、H在直线上，求直线EG的方程。 参考答案： Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，． …3分 故椭圆的方程为．…4分 （Ⅱ）顶点F、H在直线上, EFGH为菱形，EG 垂直FH，设直线EG 的方程为∵E、G在椭圆C1上，设，则 ……9分 ∴EG的中点坐标为，由EFGH为菱形可知，点在直线FH：上， ∴直线EG的方程为…………13分