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河南省洛阳市第二十六中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间内是增函数,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C . D.
参考答案:
A
略
2. 若直线与函数的图像无公共点,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
3. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是( )
A.2 B.3 C.10 D.15
参考答案:
C
正方形面积为25,由几何概型知阴影部分的面积为:,故选C.
4. 如图,平面四边形ABCD中,,,点E在对角线AC上,AC=4,AE=1,则的值为
A.17 B.13
C.5 D.1
参考答案:
D
5.
双曲线x2-y2=4的两条渐近线和直线x=2围成一个三角形区域(含边界),则该区域可表示为( )
A B C D
参考答案:
答案:B
6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数解析式为( )
A. B.y=f(2x﹣1) C. D.
参考答案:
B
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】作图题.
【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项,再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项,从而找出正确的选项即可.
【解答】解:由已知图象可知,右图的周期是左图函数周期的,从而可排除选项C,D
对于选项A:,当x=0时函数值为﹣1,从而排除选项A
故选:B
【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用,考查了识别图象的能力,还要注意排除法在解得选择题中的应用.
7. 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的最小值是( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
【知识点】奇偶性与单调性的综合.L4
【答案解析】C 解析:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴,
等价为f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增,
∴f(log2a)≤f(1)等价为f(|log2a|)≤f(1).即|log2a|≤1,
∴﹣1≤log2a≤1,解得,故a的最小值是,故选:C
【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行化简,即可得到结论.
8. 右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为24,39,则输出的a=( )
A.2 B.3 C.4 D.24
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.
【解答】解:由a=24,b=39,不满足a>b,
则b变为39﹣24=15,
由b<a,则a变为24﹣15=9,
由a<b,则,b=15﹣9=6,
由b<a,则,a=9﹣6=3,
由a<b,则,b=6﹣3=3,
由a=b=3,
则输出的a的值为3.
故选:B.
【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题.
9. 执行如图所示的程序框图,输出的值为
(A)2 (B)
(C) (D)
参考答案:
C
10.
已知矩形中,,沿对角线将折起,使点在内的射影落在边上,若二面角的平面角大小为,则的值等于( ).
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将正奇数按下表的规律填在5列的数表中,则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.
1
3
5
7
15
13
11
9
17
19
21
23
31
29
27
25
…
…
…
…
…
参考答案:
312
试题分析:前19行共有个数,所求两数为第78和第79个奇数,因此和为.
考点:新定义,数列的项.
12. 已知抛物线的焦点为,△的顶点都在抛物线上,且满足,则_______.
参考答案:
0【知识点】抛物线及其几何性质H7
设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则
∵,∴△ABC的重心是F,
∵抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F(,0),∴y1+y2+y3=0,
∴++==0.
【思路点拨】由,可得△ABC的重心是F,从而y1+y2+y3=0,利用斜率公式,即可求得结论.
13. 在直角三角形中,,,点是斜边上的一个三等分点,则 .
参考答案:
,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点,所以,所以,所以,,所以。
14. 目标函数z=2x+y在约束条件下取得的最大值是_____
参考答案:
6
15. 设则的值等于__
参考答案:
16. 若,则圆恒过定点 .
参考答案:
(0,1)(-2,1)
17. (09 年石景山区统一测试理)若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数,若且.
(1)求实数的值及函数的最小正周期;
(2)求在上的递增区间.
参考答案:
(1) ,; (2) 在上的递增区间是.
又∵,∴,即....................6分
故,
∴函数的最小正周期.................7分
(2) 的递增区间是,
∴,所以在上的递增区间是............12分
考点:1.同角三角函数基本关系;2.三角恒等变换;3.三角函数的图象与性质.
19. (满分12分)已知椭圆的一个顶点为B,离心率,
直线l交椭圆于M、N两点.
(Ⅰ)若直线的方程为,求弦MN的长;
(II)如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线的方程.
参考答案:
解:(1)由已知,且,即,
∴,解得,∴椭圆方程为; ……………………3分
由与联立,
消去得,∴,,
∴所求弦长; ……………………6分
(2)椭圆右焦点F的坐标为,
设线段MN的中点为Q,
由三角形重心的性质知,又,
∴,故得,
求得Q的坐标为; ……………………8分
设,则,
且, ……………………10分
以上两式相减得,
,
故直线MN的方程为,即. ……………………12分
20. (本题13分)数列满足,且
(1)求的通项公式;
(2)数列满足,求数列的前项和
参考答案:
解:(1)根据条件可知.数列是等差数列,由,公差
则;
(2)
略
21. (本小题满分12分)已知函数,.
(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程;
(Ⅱ)求函数的值域.
参考答案:
(Ⅰ)由题知, ……………………3分
所以,即, ……………………6分
(Ⅱ)由题知
………………10分
所以的值域为. ……………………12分
22. 设函数是定义在,0)∪(0,上的奇函数,当x?,0)时,=.
(1) 求当x?(0,时,的表达式;
(2) 若a>-1,判断在(0,上的单调性,并证明你的结论.
参考答案:
(1)设x?(0,,则,
所以f(-x)= ,
又因为f(-x)=-f(x),所以f(x)= x?(0,.
(2) x?(0,时,f(x)= ,,
x3?(0,,,
又a>-1,所以>0,即,所以f(x)在(0,上递增.
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