河南省商丘市马牧中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

河南省商丘市马牧中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数为奇函数，，则（   ） A．3          B．        C．          D．6 参考答案： D 2. 设满足   则                    （    ） A．有最小值2，最大值3        B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值        D．既无最小值，也无最大值     参考答案： B 略 3. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 .若，则等于(    ) A.     B.     C.     D. 参考答案： B 由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，① 由抛物线的性质可知,， ，则， ∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则， 由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即 ， 代入整理得： ②， 由①②，解得：x0=2，p=2， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键. 4. 直线的倾斜角是（） A.               B.              C.             D. 参考答案： B 由直线方程可知，，   5. 已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．30°或120° 参考答案： D 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，利用△ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出∠ABP的度数． 【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2， 若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则， ∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°； 若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则， ∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°， 故选D． 6. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案． 【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1， 如图所示： 所以该几何体的体积为23﹣×22×1=． 故选A． 【点评】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”． 7. 关于的方程的解不可能出现的情况为（       ）    A．正数          B．零          C．负数         D．无解　 参考答案： B 略 8. 已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 参考答案： D 【考点】轨迹方程． 【分析】先计算|MN|，从而有|PM|﹣|PN|=|MN|，故可确定点P的轨迹． 【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2 ∵|PM|﹣|PN|=2 ∴|PM|﹣|PN|=|MN| ∴点P的轨迹是射线NP 故选D． 9. 执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则 输出的值为 ．     ．     ．     ．     参考答案： ． 每次循环的结果分别为：，；，； ，；，；，； ，，这时，输出．故选． 【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解．要得到该程序运行后输出的的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序． 10. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点，M是x轴上一动点，那么的最小值是                  （    ）        A．13                          B．4                            C．—8                        D．—12 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=　    　时，{an}的前n项和最大． 参考答案： 8 【考点】等差数列的性质． 【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论． 【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0， ∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0， ∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴等差数列{an}的前8项和最大， 故答案为：8． 12. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是        ． 参考答案：   略 13. (几何证明选讲选做题)如图3，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，，则BD等于    .   参考答案： 6 14. 已知集合，，若，则的值为______________。 参考答案： 0 15. 定义函数，其中{ x }表示不小于x的最小整数，如，.当，时，函数f(x)的值域为，记集合中元素的个数为，则          ． 参考答案： 易知：当时，因为，所以，所以，所以； 当时，因为，所以，所以，所以； 当时，因为，所以，所以，所以； 当时，因为，所以，所以，所以； 当时，因为，所以，所以，所以， 由此类推：，所以，所以，所以 。 故答案为：   16. △ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则cosB的最小值为_____. 参考答案： 【分析】 利用余弦定理和基本不等式可求的最小值. 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式，此类问题是中档题. 17. 在边长为2的正方形内部任取一点，则满足的概率为_______． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 下表是某地一家超市在2017年一月份某一周内周2到周6的时间x与每天获得的利润y（单位：万元）的有关数据． 星期x 星期2 星期3 星期4 星期5 星期6 利润y 2 3 5 6 9   （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程； （2）估计星期日获得的利润为多少万元． 参考公式：回归直线方程是：, 参考答案： （1）（2）星期日估计活动的利润为10.1万元 【分析】 （1）先由题中数据得到，再由公式求出，即可得出结果； （2）将代入（1）的结果，即可求出估计值. 【详解】（1）由题意可得，， 因此，， 所以，所以； （2）由（1）可得，当时，（万元）， 即星期日估计活动的利润为10.1万元。 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求即可，属于常考题型. 19. 如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ （1）求S关于θ的函数关系式； （2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式， （2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出． 【解答】解：（1）在△COP中， CP2=CO2+OP2﹣2OC?OPcosθ=10﹣6cosθ， 从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ）， 又因为△COP得面积S△COP=OC?OP=sinθ， 所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=， 当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1， OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=， （2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1）， 令S′=0，得sin（θ+）=， 当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值， 此时cos（θ0+）=﹣， ∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin= 20. （本小题满分15分） 如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切． （1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值． 参考答案： (1)设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN， 记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ． ∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－rP， 注意：不指出取等号的条件扣1分 法三：令t＝sinθ∈(0,1)， 令rQ￠＝0得：t＝，【列表略】故t＝时，⊙Q的半径的最大值为10．………14分 注意：不列表扣1分 答：⊙Q的半径的最大值为10．                     ………15分 注意：应用题不写答扣1分 21. （本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.的中点为． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）求二面角A—CF—E的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 参考答案： （Ⅰ）设的中点为，则 则，为平行四边形，  ，又平面，平面， 平面.  ……………………………………………………………4分   （Ⅱ）建系，略   二面角A-CF-E的大小为：   ………………………………………………………………8分 （Ⅲ）三棱锥的体积为………………………………………………12分 略 22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn=Sn﹣1+an﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{bn}满足：b1=﹣，且3bn﹣bn﹣1=n+1（n∈N*且n≥2）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列； （Ⅲ）求