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河南省商丘市马牧中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数为奇函数,,则( )
A.3 B. C. D.6
参考答案:
D
2. 设满足 则 ( )
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值
参考答案:
B
略
3. 已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得的弦长为 .若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由题意:M(x0,2√2)在抛物线上,则8=2px0,则px0=4,①
由抛物线的性质可知,, ,则,
∵被直线截得的弦长为√3|MA|,则,
由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即
,
代入整理得: ②,
由①②,解得:x0=2,p=2,
∴ ,
故选:B.
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质,考查了抛物线的定义,考查勾股定理在抛物线的中的应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.
4. 直线的倾斜角是()
A. B. C. D.
参考答案:
B
由直线方程可知,,
5. 已知A、B分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上一点,且△ABP为等腰三角形,若双曲线的离心率为,则∠ABP的度数为( )
A.30° B.60° C.120° D.30°或120°
参考答案:
D
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】双曲线的离心率为,则a=b,双曲线方程为x2﹣y2=a2,利用△ABP为等腰三角形,分类讨论,即可求出∠ABP的度数.
【解答】解:双曲线的离心率为,则a=b,双曲线方程为x2﹣y2=a2,
若|AB|=|BP|=2a,设P(m,n),则,
∴m=2a,∴∠PBx=60°,∴∠ABP=120°;
若|AB|=|AP|=2a,设P(m,n),则,
∴m=﹣2a,∴∠PAB=120°,∴∠ABP=30°,
故选D.
6. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题.
【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的,根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积,从而得到答案.
【解答】解:由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的,该四棱锥的底为正方体的上底,高为1,
如图所示:
所以该几何体的体积为23﹣×22×1=.
故选A.
【点评】本题考查三视图,考查柱体、锥体的体积计算,解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体,画三视图的要求为:“长对正,高平齐,宽相等”.
7. 关于的方程的解不可能出现的情况为( )
A.正数 B.零 C.负数 D.无解
参考答案:
B
略
8. 已知动点P,定点M(1,0)和N(3,0),若|PM|﹣|PN|=2,则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
参考答案:
D
【考点】轨迹方程.
【分析】先计算|MN|,从而有|PM|﹣|PN|=|MN|,故可确定点P的轨迹.
【解答】解:由题意,|MN|=3﹣1=2
∵|PM|﹣|PN|=2
∴|PM|﹣|PN|=|MN|
∴点P的轨迹是射线NP
故选D.
9. 执行图中的程序框图(其中表示不超过的最大整数),则
输出的值为
. . . .
参考答案:
.
每次循环的结果分别为:,;,;
,;,;,;
,,这时,输出.故选.
【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解.要得到该程序运行后输出的的值,主要依据程序逐级运算,并通过判断条件调整运算的继续与结束,注意执行程序运算时的顺序.
10. 已知抛物线的焦点为F,过点F且斜率为1的直线交C于A、B两点,M是x轴上一动点,那么的最小值是 ( )
A.13 B.4 C.—8 D.—12
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
参考答案:
8
【考点】等差数列的性质.
【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数,进而可得结论.
【解答】解:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,
∴a8>0,又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0,
∴等差数列{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数,
∴等差数列{an}的前8项和最大,
故答案为:8.
12. 已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
13. (几何证明选讲选做题)如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,,则BD等于 .
参考答案:
6
14. 已知集合,,若,则的值为______________。
参考答案:
0
15. 定义函数,其中{ x }表示不小于x的最小整数,如,.当,时,函数f(x)的值域为,记集合中元素的个数为,则 .
参考答案:
易知:当时,因为,所以,所以,所以;
当时,因为,所以,所以,所以;
当时,因为,所以,所以,所以;
当时,因为,所以,所以,所以;
当时,因为,所以,所以,所以,
由此类推:,所以,所以,所以
。
故答案为:
16. △ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则cosB的最小值为_____.
参考答案:
【分析】
利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.
【详解】因为成等比数列,所以
,
由基本不等式可以得到,当且仅当时等号成立,
故的最小值为.
【点睛】本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式,此类问题是中档题.
17. 在边长为2的正方形内部任取一点,则满足的概率为_______.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 下表是某地一家超市在2017年一月份某一周内周2到周6的时间x与每天获得的利润y(单位:万元)的有关数据.
星期x
星期2
星期3
星期4
星期5
星期6
利润y
2
3
5
6
9
(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程;
(2)估计星期日获得的利润为多少万元.
参考公式:回归直线方程是:,
参考答案:
(1)(2)星期日估计活动的利润为10.1万元
【分析】
(1)先由题中数据得到,再由公式求出,即可得出结果;
(2)将代入(1)的结果,即可求出估计值.
【详解】(1)由题意可得,,
因此,,
所以,所以;
(2)由(1)可得,当时,(万元),
即星期日估计活动的利润为10.1万元。
【点睛】本题主要考查线性回归分析,熟记最小二乘法求即可,属于常考题型.
19. 如图,直线l是湖岸线,O是l上一点,弧是以O为圆心的半圆形栈桥,C为湖岸线l上一观景亭,现规划在湖中建一小岛D,同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A,B重合)建栈桥,考虑到美观需要,设计方案为DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部,已知BC=2OB=2(km),设湖岸BC与直线栈桥CD,DP是圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2),∠BOP=θ
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)试判断S是否存在最大值,若存在,求出对应的cosθ的值,若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】HN:在实际问题中建立三角函数模型.
【分析】(1)根据余弦定理和和三角形的面积公式,即可表示函数关系式,
(2)存在,存在,S′=(3cosθ+3sinθ﹣1),根据两角和差的余弦公式即可求出.
【解答】解:(1)在△COP中,
CP2=CO2+OP2﹣2OC?OPcosθ=10﹣6cosθ,
从而△CDP得面积S△CDP=CP2=(5﹣3cosθ),
又因为△COP得面积S△COP=OC?OP=sinθ,
所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBP=(3sinθ﹣3cosθ﹣θ)+,0<θ<θ0<π,cosθ0=,
当DP所在的直线与半圆相切时,设θ取的最大值为θ0,此时在△COP中,OP=1,
OC=3,∠CPO=30°,CP==6sinθ0,cosθ0=,
(2)存在,S′=(3cosθ+3sinθ﹣1),
令S′=0,得sin(θ+)=,
当0<θ<θ0<π,S′>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值,
此时cos(θ0+)=﹣,
∴cosθ0=cos[(θ0+)﹣]=cos(θ0+)cos+sin(θ0+)sin=
20. (本小题满分15分)
如图,某广场为一半径为80米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛,该扇形的圆心角为变量2θ(),其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形,半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切,且与OA、OB相切.
(1)求半径较大的花坛⊙P的半径(用θ表示);
(2)求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值.
参考答案:
(1)设⊙P切OA于M,连PM,⊙Q切OA于N,连QN,
记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ.
∵⊙P与⊙O内切,∴|OP|=80-rP,
注意:不指出取等号的条件扣1分
法三:令t=sinθ∈(0,1),
令rQ¢=0得:t=,【列表略】故t=时,⊙Q的半径的最大值为10.………14分
注意:不列表扣1分
答:⊙Q的半径的最大值为10. ………15分
注意:应用题不写答扣1分
21. (本小题满分12分)如图,为圆的直径,点、在圆上,且,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且,.的中点为.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角A—CF—E的大小;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
参考答案:
(Ⅰ)设的中点为,则
则,为平行四边形,
,又平面,平面,
平面. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)建系,略 二面角A-CF-E的大小为:
………………………………………………………………8分
(Ⅲ)三棱锥的体积为………………………………………………12分
略
22. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,Sn=Sn﹣1+an﹣1+(n∈N*且n≥2),数列{bn}满足:b1=﹣,且3bn﹣bn﹣1=n+1(n∈N*且n≥2).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列;
(Ⅲ)求
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