2022-2023学年江苏省常州市金坛五叶中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年江苏省常州市金坛五叶中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知平面平面,=c，直线直线不垂直，且交于同一点，则“”是“”的       A. 既不充分也不必要条件  B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件    D. 充要条件 参考答案： D 略 2. 在极坐标系中，直线被曲线1截得的线段长为 　A．　　　B． 　C．1 　　　D． 参考答案： D 3. 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　) A.        B.        C．0       D． 参考答案： D 略 4. 已知等比数列{an}的各项均为正数，，则的最小值为（    ） A. B. C. 10 D. 20 参考答案： D 【分析】 根据基本不等式以及等比数列性质求最值. 【详解】因为，所以的最小值为20， 故选D 【点睛】本题考查基本不等式求最值以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 5. 在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x+y的值为（    ） A．3         B．4       C.5         D．6 参考答案： A 因为乙同学次成绩的中位数为，所以选A.   6. 已知函数f（x）=x2+|ax+1|，命题p：?a∈R，f（x）为偶函数，则￢p为（　　） A．?a∈R，f（x）为奇函数 B．?a∈R，f（x）为奇函数 C．?a∈R，f（x）不为偶函数 D．?a∈R，f（x）不为偶函数 参考答案： D 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题p：?a∈R，f（x）为偶函数，则￢p为：?a∈R，f（x）不为偶函数． 故选：D 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 7. 如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论． 【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增， 由→1时，t从0→+∞，且单调递增， ∴排除A，B，C， 故选：D． 8. 已知函数均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是 A．   B．    C．    D． 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的极值．B12 【答案解析】D   解析：因为，依题意，得            则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），           其中，，. 表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离，观察图形可知，，又，所以，故选 【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值． 9. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，对于任意t∈[1，2]函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，则实数 m 的取值范围是（　　） A．?（﹣∞，﹣5）? B．?（﹣，﹣5）? C．（﹣9，+∞）?? D．（﹣，﹣9）? 参考答案： D 【考点】直线的方向向量；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率求出a，利用函数的单调性，任意t∈[1，2]函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，转化为函数由极值，然后求解函数的值域即可得到结果． 【解答】解：由函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．可得f′（x）=﹣a， 得a=﹣2，对于任意t∈[1，2]函数=x3+x2（﹣+2+） 在区间（t，3）上总不是单调函数，只需2在（2，3）上不是单调函数， 故g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2在（2，3）上有零点，即方程在（2，3）上有解， 而在（2，3）上单调递减，故其值域为． 故选：D． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力． 　 10. 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值． 【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa， =1，a+=2a， 解得p=2， 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=        ． 参考答案： 24 【考点】等比数列的性质． 【分析】由已知求得q2，再由a8+a12=（a6+a10）?q2得答案． 【解答】解：在等比数列{an}中，由a2+a6=3，a6+a10=12， 得， ∴q2=2， 则a8+a12=（a6+a10）?q2=12×2=24． 故答案为：24． 12. 展开式中，形如的项称为同序项，形如的项称为次序项，如q是一个同序项，是一个次序项。从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为    。 参考答案： 13. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；…；依此类推，则 （Ⅰ）按网络运作顺序第n行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，）是            ； （Ⅱ）第63行从左至右的第3个数是     ． 参考答案： 【知识点】合情推理;等差数列求和公式.D2  M1 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）2014 解析：（1）由题意，前（n-1）行一共已出现了1+2+3+…+（n-1）= 个数字，∴按网络运作顺序第n行第一个数字是+1= ； （2）第63行的数字从左至右是由大到小出现的，64行的数字从左至右是由小到大出现的，且第一个数字为2017,∴第63行的数字从左至右依次为2016，2015，2014，2013，…，1954，∴第63行从左至右的第3个数应是2014 故答案为：，2014． 【思路点拨】（1）前n行的数字个数之和刚好等于本行的最大数字，并且奇数行，从大到小排列；偶数行，从小到大排列，所以利用等差数列的求和公式，即可求得结论；（2）第63行的数字从左至右是由大到小出现的，64行的数字从左至右是由小到大出现的，且第一个数字为2017，即可得到结论． 14. 已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为　　． 参考答案： y2=8x 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】设直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k的值，根据中点坐标公式求得M的横坐标，则M到准线的距离d=x+=，即可求得d的值，求得抛物线方程． 【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0）， 由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）， =（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），由=3， 则﹣x1=3（x2﹣），则3x2+x1=2p，① ，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+=0， 由韦达定理可知：x1+x2=，②x1x2=，③ 由①②解得：x1=，x2=， 代入③，解得：k2=3， 则x==，M到准线的距离d=x+=， ∴=，解得：p=4， ∴抛物线的方程为y2=8x． 故答案为：y2=8x． 15. 若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－，β是第二象限的角，则tan 2β＝________. 参考答案： 16. 抛物线上的点P到两直线的距离之和的最小值为          ． 参考答案： 3 17. 已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，，则         . 参考答案： 由得函数的周期为4，所以，所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD． （1）证明：ED∥面PAB； （2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值． 参考答案： （Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF． ∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=． 又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF， 则四边形ADEF是平行四边形． ∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；……………6分 （Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC， ∴四边形ADCM是平行四边形， ∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得． 过D作DG⊥AC于G， ∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC， ∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC． 过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH， ∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角． 在△ADC中，，连接AE，． 在Rt△GDH中，， ∴， 即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……………….12分 法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC． ∴四边形ADCM是平行四边形， ∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上， ∴AB⊥AC． ∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC． 如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系． 可得，． 设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，， 解得． 则，，． 设面PDC的一个法向量为， 由，取x0=1，得． 为面PAC的一个法向量，且， 设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ， 则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……12分 19. （12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图． （Ⅰ） 求图中x的值； （Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】