广西壮族自治区南宁市第四职业高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市第四职业高级中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过点(－1，0)作抛物线的切线，则其中一条切线为 A. B. C.   D. 参考答案： D 略 2. 定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（  ）. A.(1,2]     B. ． C. D. 参考答案： B 解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中实质上就是取中的最小值，因此就是与中的最小值，函数在上是减函数，函数在上是增函数，且，因此当时，，时，，因此，由函数的单调性知时取得最大值，又时，是增函数，且，，又时，是减函数，且.函数恰有两个零点，说明函数的图象与直线有两个交点，从函数的性质知.选B. 3. 已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为 A.4     B.8     C. D.   参考答案： A 略 4. 已知等差数列{an}满足：a2=2，Sn﹣Sn﹣3=54（n＞3），Sn=100，则n=（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列的性质得an﹣1=18．（n≥2），由此利用等差数列的通项公式能求出n． 【解答】解：∵等差数列{an}满足：a2=2，Sn﹣Sn﹣3=54（n＞3），Sn=100， ∴an+an﹣1+an﹣2=54（n＞3），又数列{an}为等差数列， ∴3an﹣1=54（n≥2）， ∴an﹣1=18．（n≥2）， 又a2=2，Sn=100， ∴Sn===100， ∴n=10．　　 故选：D． 5. 若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： A 略 6. 设函数，若不等式在[－2,+∞)上有解，则实数a的最小值为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： C 在上有解在上有解． 令， 则， ∵， ∴当时，，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； ∴当时，取得极小值，也是最小值， ∴，∴，故选C.   7. 函数在区间上的最大值是( ) A. 1            B.         C.               D. 参考答案： C , 因为, 所以, 所以,故选C.   8. 函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是                                   （    ） A．        B．        C．   D． 参考答案： C 9. 化简＝                                           （　 　）     A．－2             B．－             C．－1                D．1 参考答案： C 10. 若直线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是（    ）     A．           B．2 C．2          D．4 参考答案： 答案：B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________. 参考答案： z＝，|z|＝||＝＝＝. 12. 已知数列的前项和为，则               .   参考答案：   13. 若双曲线的离心率小于，则的取值范围是      . 参考答案： 14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于　   　． 参考答案： 4 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积． 【解答】解：由三视图复原几何体，如图， 它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2， 这个几何体的体积： 故答案为4． 15. 如图，在△中，，为边上的点，且，，则____▲____. 参考答案： 1 16. 如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，点为上一点，,交于点.若的半径为5，，则         . 参考答案： 17. 已知集合A是函数的定义域，集合B是整数集，则A∩B的子集的个数为                 ． 参考答案： 4 【考点】子集与真子集． 【专题】集合思想；综合法；集合． 【分析】列出不等式组，解出集合A，求出A∩B，写出所有的子集． 【解答】解：由f（x）有意义得： ， 解得﹣1＜x≤1， ∴A=（﹣1，1]， ∵B=Z， ∴A∩B={0，1}， ∴A∩B={0，1}有4个子集，分别是?，{0}，{1}，{0，1}． 故答案为 4． 【点评】本题考查了集合的子集的定义，简单的集合运算，是基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E． （1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值； （2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值； （2）由|CD|=4与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程． 【解答】解：（1）∵C（﹣4，0）、D（0，4）， ∴直线CD方程为．化简得x﹣y+4=0． 又∵△AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=． ∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径， 即=，即=，解之得a=4； （2）C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|==4， 设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=|CD|×d=12， 即，解之得d=3． 因此，只须与CD平行且与CD距离为3的两条直线中的一条与⊙E相切， 另一条与⊙E相交． ∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2， ∴圆E的半径为2+3=，即r==，解得a=10． 即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50． 【点评】本题给出三角形AOB的外接圆与直线CD，探究直线与圆的位置关系．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 19. (本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D. (1)求证：AT2＝BT·AD； (2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A. 参考答案： 【知识点】与圆有关系的比例线段  N1 【答案解析】 解：（Ⅰ）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB， 所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT. 又AT 2＝AB×AD，所以AT 2＝BT×AD． …4分 （Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM． 由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC． 因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC． 所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径． 所以∠ABT＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°. …10分 【思路点拨】（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论； （2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A。 20. （2017?葫芦岛一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0． （1）求曲线C1的普通方程和曲线  C2的直角坐标方程； （2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线  C2的直角坐标方程； （2）利用参数方法，求|PQ|的最小值． 【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1． 由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0… （2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d= =，…（8分） 当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分） 【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 21. （13分）已知函数，g（x）=lnx． （Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】： 函数单调性的性质；函数与方程的综合运用． 【专题】： 计算题；压轴题． 【分析】： （1）由于函数的解析式中含有参数a，故我们要对a进行分类讨论，注意到a出现在二次项系数的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三种情况，最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案． （2）方程整理为ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0构造函数H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），则原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根即为函数H（x）在区间（）内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结论． 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意． 当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为， 由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数， 所以，解得a≤﹣2或a＞0，所以a＞0． 当a＜0时，不符合题意． 综上，a的取值范围是a≥0． （Ⅱ）把方程整理为 ， 即为方程ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0． 设H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0）， 原方程在区间（）内有且只有两个不相等的实数根， 即为函数H（x）在区间（）内有且只有两个零点 = 令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或（舍） 当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数； 当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数． H（x）在（）内有且只有两个不相等的零点， 只需 即 ∴ 解得， 所以a的取值范围是（）． 【点评】： 遇到类二次方程/函数/不等式（即解析式的二次项系数含有参数）时，一般要进行分类讨论，分类的情况一般有：①先讨论二次项系数a是否为0，以确定次数②再讨论二次项系数a是否大