2022年湖南省岳阳市李家塅中学高一数学理月考试题含解析

2022年湖南省岳阳市李家塅中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2010x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为(　　) (A)3　　　 (B)2　　　 (C)1　　　 (D)4 参考答案： A 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,函数y=2010x与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x<0 时,也有唯一一个根使f(x)=0,所以f(x)=0在R上有3个实数根. 2. 方程对应的图象是                                （     ）   参考答案： C 3. 函数y = arccos ( a x – 1 )在[ 0，1 ]上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） （A）( 1，+ ∞ )      （B）( 0，+ ∞ )      （C）( 0，1 )]      （D）( 0，2 )] 参考答案： D 4. 方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（　　） A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 参考答案： C 【考点】H7：余弦函数的图象． 【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根． 【解答】解：方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx在（﹣∞，+∞）内交点的个数， 如图，可知只有2个交点． 故选C 5. 经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是  （    ） A．x＋y＋1＝0       B．x＋y－1＝0       C．x－y＋1＝0       D．x－y－1＝0 参考答案： C 略 6. 已知集合，集合满足，则可能的集合共有（ ） A．4个 B．7个 C．8个 D．9个 参考答案： C 7. 化简得（　　） A．  B．  C．  D． 参考答案： D 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值． 【解答】解：﹣+﹣ =﹣﹣ =﹣ = 故选D 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 210 B. 208 C. 206 D. 204 参考答案： D 【分析】 根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积. 【详解】 由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2， 故该几何体的体积为. 故选D项. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 9. 已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（    ）． A． B．(1,2) C． D． 参考答案： A 解：偶函数在上是减函数， ∴其在上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大， ∴不等式可以变为， 解得． 故选． 10. 设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）的元素个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】子集与交集、并集运算的转换． 【分析】先根据并集的定义求出A∪B得到全集U，然后根据交集的定义求出A∩B，最后利用补集的定义求出CU（A∩B）即可求出集合CU（A∩B）的元素个数． 【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5} A∩B={3，4} ∴CU（A∩B）={1，2，5} 故答案为：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知在中,,则该三角形为___________三角形. 参考答案： 直角 12. 如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有 8层花盆，则最底层的花盆的总个数是                                  参考答案： 169 略 13. 参考答案： 27 14. 若幂函数的图象过点(2,8)，则n的值为___________． 参考答案： 3 【分析】 将点(2,8)代入可解得. 【详解】因为幂函数的图象过点(2,8), 所以,即,解得. 故答案为:3 【点睛】本题考查了根据幂函数经过点求参数,属于基础题. 15. 若直线与平行，则两平行直线，间的距离为______. 参考答案： 【分析】 利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】若直线l1：x﹣2y+4＝0与l2：mx﹣4y+3＝0平行，则有 ，求得m＝2， 两直线即 l1：2x﹣4y+8＝0与l2：2x﹣4y+3＝0 则两平行直线l1，l2间的距离为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式的 应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题． 16. （5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，请将0，f（b），g（a）按从小到大的顺序排列     （用“＜”连接）． 参考答案： g（a）＜0＜f（b） 考点： 函数的零点；不等关系与不等式． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先判断函数f（x）和g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可． 解答： 由于y=ex及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=ex+x﹣2在R上单调递增． 分别作出y=ex，y=2﹣x的图象， ∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0， ∴0＜a＜1． 同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增， g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0， 由于g（）=ln+﹣3=ln3＞0， 故由 g（b）=0， 可得1＜b＜． ∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0， f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0． ∴g（a）＜0＜f（b）． 故答案为：g（a）＜0＜f（b）． 点评： 本题主要考查函数的单调性、不等式与不等关系，熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 17. （5分）在△ABC中，∠B=π，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且2+2﹣2=?﹣2?，则∠A等于                ． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由2+2﹣2=?﹣2?，可得2+2﹣2?=，化为，化简可得b=﹣c，进而得出． 解答： 作 AO⊥BC，垂足为 O， 以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系． 设 A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）． ∵2+2﹣2=?﹣2?， ∴2+2﹣2?=， ∴， ∴b2+a2=d2+a2+（d﹣b）（c﹣d）， 即（b﹣d）（b+d）=（d﹣b）（d﹣c）， 又b﹣d≠0， ∴b+d=d﹣c， ∴b=﹣c， ∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称， ∴△ABC为等腰三角形． ∴AB=AC，∵∠B=， ∴∠A=π﹣=． 故答案为：． 点评： 本题考查了向量的数量积运算性质、余弦定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共8分）     设△ABC的内角A，B，Ｃ所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2。     （Ⅰ）当A＝30°时，求a的值；     （Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a＋c的值。   参考答案：    解：（Ⅰ）因为cosB＝，所以sinB＝.             2分   由正弦定理＝，可得＝. 所以a＝.             4分 （Ⅱ）因为△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝， 所以ac＝3，ac＝10.           5分 由余弦定理b2＝a2＋c2＝－2accosB，                6分 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以（a＋c）2－2ac＝20，（a＋c）2＝40， 所以a＋c＝2.                           8分 19.    已知函数  (Ⅰ）求的值； (Ⅱ）求（）的值； (Ⅲ）当时，求函数的值域。 参考答案： （Ⅰ）  (Ⅱ）  (Ⅲ）①当时，∵ ∴      ②当时，      ③当时，∵ ∴ 故当时，函数的值域是 20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积. 参考答案： ---------------------------------6分   ---------------------12分 21. 已知，（I）求的值， （II）若，（i）求的值（ii）求的值. 参考答案： (I)解：.，由，...(2分） ................................................(4分） (II).解：由，，..........................(5分） (i).............(7分） (ii)..........................(10分）. 略 22. 已知函数的最大值为3，最小值为-1. （1）求的值； （2）当求时，函数的值域. 参考答案： (1).a=1,b=2              (2)函数的值域为： 略