2022-2023学年四川省乐山市第七中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，设面MEF∩面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（ ）
A．l∥面ABCD B．l⊥AC
C．面MEF与面MPQ不垂直 D．当x变化时，l不是定直线
参考答案：
D
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】画出直线l，然后判断选项即可．
【解答】解：如图作出过M的中截面，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0＜x＜1，QP∥EF，EF∥中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF∩面MPQ=l，
由平面与平面平行的性质定理可知：l∥面ABCD；
∵几何体是正方体，∴AC⊥EF，由三垂线定理可知：l⊥AC．
过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，
直线l与EF平行，是定直线．D错误．
故选：D．
2. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据圆锥的底面圆周长等于半圆弧长可计算出圆锥底面圆半径，由勾股定理可计算出圆锥的高，再利用锥体体积公式可计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥底面圆周长为，得，
，
所以，圆锥的体积为，故选：A.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是要计算出圆锥底面圆的半径和高，解题时要从已知条件列等式计算，并分析出一些几何等量关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
3. 等比数列中，， ，则的值是（ ）
A．14 B．18 C．16 D．20
参考答案：
C
略
4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 （ ）
A. 5 B. C. D.
参考答案：
C
分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.
点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.
5. 设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
6. 已知||=2, ||=1，，则向量在方向上的投影是
A、 B、 C、 D、1
参考答案：
D
7. 正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
参考答案：
B
如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。
8. 在△中，角所对的边分别为.若，则
( )
A．－ B. C．－ D.
参考答案：
B
略
9. 已知等差数列{an}的前n项和为18，若，，则n等于（ ）
A. 9 B. 21 C. 27 D. 36
参考答案：
C
【分析】
利用前项和的性质可求.
【详解】因为，
而，
所以，故，选C.
【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 等差数列.
10. 过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果，且，那么下列不等式中：①；②；③；④，
不一定成立的是__________（填序号）．
参考答案：
③
【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】由题意可得，，应用不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：由，且，可得，，
故①、②、④一定成立，但③不一定成立，
如当时，不等式不成立，
故答案为：③．
12. 如图所示三角形中，，，，则 ．
参考答案：
由正弦定理得，，又，
则，得，
所以。
13. 不等式的解集是_____________．
参考答案：
14. 幂函数的图像经过，则= ________．
参考答案：
15. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则an＝_____
参考答案：
【分析】
利用等比数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．
【详解】由题意，,不合题意舍去；
当等比数列的前n项和为，
即，解得，所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16. 已知数列是等差数列，a1=-9，S3=S7，那么使其前n项和Sn最小的ｎ是_____________.
参考答案：
5
略
17. 已知正数数列{an}对任意，都有若a2=4,则
参考答案：
64
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 证明：是无理数
参考答案：
反证法
19. （8分）如图，已知正三角形ABC的边长为1，设=，=．
（Ⅰ）若D是AB的中点，用，表示向量；
（Ⅱ）求2+与﹣3+2的夹角．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）运用中点的向量表示及向量的三角形法则，即可得到所求向量；
（Ⅱ）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，计算即可得到夹角．
解答： （Ⅰ）=﹣=﹣=﹣；
（Ⅱ）由题意知，||=||=1，与的夹角为60°，
则=1×=，
（2+）?（﹣3+2）=﹣6++2=﹣6++2=﹣，
|2+|====，
|﹣3+2|====
设2+与﹣3+2的夹角为θ，则cosθ==﹣，
所以2+与﹣3+2的夹角为120°．
点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查中点的向量表示，向量的三角形法则，考查向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．
20. 已知向量与的夹角为， ||=2，||=3，记=3﹣2，=2+k
（I） 若⊥，求实数k的值；
（II） 当 k=﹣时，求向量与的夹角θ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
【分析】（I） 若，两个向量垂直的性质可得=0，由此求得实数k的值．
（II） 解法一：当时，求的cos＜， =1，从而求得向量与的夹角θ的值．
解法二：根据当时， =，可得向量与的夹角θ的值．
【解答】解：（I）由于，又∵，可得=（3﹣2）?（2+k）
=6+（3k﹣4）﹣2k=24﹣3（3k﹣4）﹣2k×9=36﹣27k=0，求得．
（II），，，
因为0≤θ≤π，∴θ=0．
解法二：当时，，
所以同向，∴θ=0 …
21. 已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3
0时，B＝{x|a0，a＝3时成立．
∵此时B＝{x|3
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