广东省广州市华颖中学2022年高三数学理模拟试卷含解析

广东省广州市华颖中学2022年高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(   ) （　　） A．(1,2] B．(1,2) C．[2,+) D．(2,+) 参考答案： C 2. 已知，则“”是“” （    ）     A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件     C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件 参考答案： A          。 故为充分不必要条件。 3. 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题正确的是（　　） ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β． A．②④ B．①② C．③④ D．①③ 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m?平面β． 若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确； ②如图，由图可知②不正确； ③∵直线l⊥平面α，l∥m， ∴m⊥α，又m?平面β， ∴α⊥β，③正确； ④由②图可知④不正确． ∴正确的命题为①③． 故选：D． 4. 对于函数，有如下三个命题： ①是偶函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数； ③在区间上是增函数． 其中正确的命题的序号是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： A 解：①， ，正确． ②∵函数在上是减函数，在上是增函数，且在上是增函数， ∴在是减函数，在是增函数，正确． ③ ， 在是减函数，错误． 故选． 5. 为了得到函数y=2cos(2x－)的图象，只需将函数y=2sin2x图象上所有的点（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：为了得到函数=2sin（2x+）=2sin2（x+）的图象， 只需将函数y=2sin2x图象上所有的点向左平移个单位长度， 故选：C． 【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题 6. 如果是二次函数, 且 的图象开口向上,顶点坐标为(1,), 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是   A．        B．       C．        D． 参考答案： B 7. 已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（  ） A．         B．       C．        D． 参考答案： B 由程序框图可得，该程序的功能时求的值． 由于 ． 所以输出的结果为．选B．   8. （5分）若方程=有实数解x0，则x0属于（　　） 　 A． （0，） B． （，） C．  D． （1，2） 参考答案： B 【考点】： 函数零点的判定定理． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 令函数f（x）=﹣，利用幂函数的单调性可得f（）＞0，f（）＜0，再由函数零点的判定定理求出函数的零点所在的区间． 解：令函数f（x）=﹣，则由题意可得x0 是函数f（x） 的零点． ∵f（）=﹣，由函数y== 是R上的增函数可得f（）＞0； f（）=﹣=﹣，由函数y== 是（0，+∞）上的增函数可得 f（）＜0． 故?f（）f（）＜0，故x0属于（，）， 故选B． 【点评】： 本题考查函数零点的判定定理的应用，幂函数的单调性，属于基础题． 9. 函数的图象可以由的图象(  )                             A.右移个单位，再每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍; B.左移个单位，再每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍; C.每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再左移个单位; D.左移个单位，再每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍. 参考答案： D 略 10. 过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（   ） A．     B．      C．      D．2 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数为      ． 参考答案： 方法一：由前4组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列， 后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第6组勾股数为． 方法二：若设第一个数为，则第二，三个数分别为， 第6组的一个数为13，可得第6组勾股数为． 12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点，且直线l：x＋ay﹣1＝0(a∈R)是圆C的一条对称轴，过点A(﹣6，a) 作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为_______． 参考答案： 【分析】 求出圆的标准方程可得圆心和半径，由题意得直线l：x+ay﹣1＝0经过圆心，求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得线段AB的长度． 【详解】设圆C方程为：，圆C经过M(1，3)，N(4，2)，P(1，﹣7)三点， 所以，有，解得： 所以，圆C方程为：， 即圆C方程为：，圆心为C（1，－2），R＝5， 因为直线l：x＋ay﹣1＝0(a∈R)是圆C的一条对称轴，所以直线l：x+ay﹣1＝0经过圆心， 得，解得：＝0，所以点A（－6,0），｜AC｜＝， 切线长｜AB｜＝. 故答案为： 【点睛】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于中档题． 13. 如图，从圆 外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　   　． 参考答案： 14. 已知函数对任意的恒成立，则      . 参考答案： 15. 非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（2+3），则与夹角的大小为　　． 参考答案： π 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由已知可得与的关系，然后代入数量积公式求得与夹角． 【解答】解：∵||=||，且（﹣）⊥（2+3）， ∴（﹣）?（2+3）=， 即， ∴cos＜＞=， ∴与的夹角为． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积求向量的夹角，向量垂直与数量积间的关系，是基础题． 16. 若向量满足且则向量的夹角为__________. 参考答案：         17. i是虚数单位，则______. 参考答案： 5 【分析】 先化简复数，再求模得解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图5，已知圆的两条弦AB, CD，延长AB，CD交于圆外一点E，过E作AD的平行线交CB的延长线于F，过点F作圆的切线FG，G为切点．求证： （I）△EFC∽△BFE; （II）FG＝FE 参考答案： 证明：（Ⅰ）， 又，， ， ． …………………………………………（5分） （Ⅱ）， ， 又FG是圆的切线，由切割线定理得， ，即． ……………………………………………………（10分） 19. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：≥3． 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值； （Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2，即可证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3， ﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6）， x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6， ∴m=3； （Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）≥（a+b+c）2， ∴++≥3． 20. 已知函数f（x）=cosxcos（x+）． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC的面积为2，求边长c的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法． 【专题】解三角形． 【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得； （2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值． 【解答】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+） =cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx =﹣sin2x=cos（2x+）+， ∴f（x）的最小正周期T==π； （2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣， ∴cos（2C+）=﹣1，∴C=， 又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2， ∴ab=8，∴b===4， 由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12， ∴c=2 【点评】本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题． 15.（本小题满分13分） 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.   参考答案： 解：（Ⅰ）因为，， 由正弦定理得：.      ………………………5分 （Ⅱ）因为，可知，. 则. ,. 则==.      ………………13分 略 22. 已知椭圆C：，圆Q：的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为． （I）求椭圆C的方程； （II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围． 参考答案： （1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，）， 代入椭圆方程可得+=1， 由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=， 解得c=2，即a2﹣b2=4， 解得a=2，b=2， 即有椭圆的方程为+=1； （2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±， 可得M的坐标为（2，），又|AB|=4， 可得△MAB的面积为×2×4=4； 设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0， 可得中点M（，）， |MP|==， 设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得： （2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0， 设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=， 则|AB|=? =?， 可得△MAB的面积为S=??? =4， 设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1， 可得S＜4， 且S＞4= 综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]．