四川省遂宁市马家中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省遂宁市马家中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是定义在R上的恒不为零的函数，对任意，都有，     ，若，且，则数列的前n项和为为                                                          （    ）     A．         B．        C．              D． 参考答案： D 2. 函数的定义域是（　　） A． B． C． D．[0，+∞） 参考答案： B 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得： ， 解得：x＞﹣且x≠0， 故选：B． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 3. 用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（   ） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 试题分析：时，左边为，时，左边为，可见左边添加的式子为．故选B． 考点：数学归纳法． 4. （5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　） 　 A． B． ln（x2+1）＞ln（y2+1） 　 C． x3＞y3 D． sinx＞siny 参考答案： C 【考点】： 不等式的基本性质． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： 实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），可得y＜x． A．取x=1，y=0，即可判断出． B．取x=﹣2，y=﹣1，即可判断出； C．利用y=x3在R上单调递增，即可判断出； D．取y=﹣，x=，即可判断出． 解：∵实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确； 对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立； 对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确； 对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确． 故选：C． 【点评】： 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题． 5. 在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则 （A）      （B）     （C）     （D） 参考答案： B   本题主要考查平面向量的几何意义、坐标运算、数量积，以及三角形的面积、组合的应用，同时考查创新思维能力、运算能力、逻辑思维能力等，难度很大． 因为当＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则以，为邻边的四边形的面积S＝||||sinPOQ＝||||＝＝＝|a1b2－a2b1|． 根据条件知平行四边形面积不超过4可转化为|a1b2－a2b1|≤4   （※）． 由条件知，满足条件的向量有6个，即α1＝(2，1)，α2＝(2，3)，α3＝(2，5)，α4＝(4，1)，α5＝(4，3)，α6＝(4，5)，易知n＝C＝15．而满足（※）的有向量α1和α2、α1和α4、α1和α5、α2和α3、α2和α6共5个，即＝． 故选B。 6. 若在区间上有极值点,则实数的取值范围是(    ) A.    B.    C.          D. 参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的极值．B12 【答案解析】C  解析：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1， 若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点， 则f′（x）=x2﹣ax+1在区间（，3）内有零点，即f′（）?f′（3）＜0 即（﹣a+1）?（9﹣3a+1）＜0，解得2＜a＜．故选C． 【思路点拨】由函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点，我们易得函数的导函数在区间（，3）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ） A．48+8π       B．96+8π      C. 96+16π        D．48+16π 参考答案： B 8. 在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为 A.        B.        C.      D. 参考答案： 由余弦定理，得，即，由，知角.选. 9. 已知x，y满足，的最小值、最大值分别为a，b，且对上恒成立，则k的取值范围为（   ） A．          B．            C．           D． 参考答案： B 作出表示的平面区域（如图所示）， 显然的最小值为0， 当点(x,y)在线段上时， ； 当点(x,y)在线段上时， ； 即； 当x=0时，不等式恒成立， 若对上恒成立， 则在上恒成立， 又在单调递减，在上单调递增， 即，即．   10. 长方体的各个顶点都在表面积为的球的球面上，其中，则四棱锥的体积为（  ） A．  B．    　C．　　 D. 3 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则a=_____． 参考答案： 1 【分析】 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可． 【详解】函数图象在处的切线与直线垂直, 函数的图象在的切线斜率     本题正确结果： 【点睛】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键． 12. 若抛物线的焦点坐标为(0,1)，则=   __    ； 参考答案： 13. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为         ． 参考答案： 考点：双曲线的简单性质． 分析：因为，所以AF1与BF1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF1B是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率． 解答： 解：根据题意，得右焦点F2的坐标为（c，0） 联解x=c与，得A（c，），B（c，﹣） ∵ ∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△ 由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c ∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0 解之得：e=（舍负） 故答案为： 点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 14. 已知中,点是其内切圆圆心，则=______________． 参考答案： 1 略 15. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为         ． 参考答案： 16. 等差数列{an}中，a3=8，a7=20，若数列{}的前n项和为，则n的值为　　． 参考答案： 16 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出a1=2，d=3，从而==（），进而得到数列{}的前n项和为Sn=（），由此利用数列{}的前n项和为，能求出n的值． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a3=8，a7=20， ∴， 解得a1=2，d=3， ∴an=2+（n﹣1）×3=3n﹣1， ∴==（）， ∴数列{}的前n项和为： Sn=（）=（）， ∵数列{}的前n项和为，∴=， 解得n=16． 故答案为：16． 17. 现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是               ． 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （Ⅰ）若时，取得极值，求的值； （Ⅱ）求在上的最小值； （Ⅲ）若对任意，直线都不是曲线的切线，求的取值范围． 参考答案： （I）因为                                      ………………1分 当时，取得极值，所以,          ………………2分 又当时, 时, 所以在处取得极小值，即符合题意               ………………4分    (II) 当时，对成立， 所以在上单调递增，在处取最小值   ………………6分     当时，令，            当时， 时, 单调递减 时， 单调递增 所以在处取得最小值           当时， 时, 单调递减      所以在处取得最小值                   ………………8分 综上所述， 当时，在处取最小值 当时，在处取得最小值 当时，在处取得最小值.   (III)因为，直线都不是曲线的切线， 所以对成立，                         ………………10分 只要的最小值大于即可， 而的最小值为                     所以，即                                      ………………12分 19. (本小题满分12分) 已知函数. （Ⅰ）若在时有极值，求的值及函数的单调递减区间； （Ⅱ）当时，，求的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）.  由得, ……………2分 当时，， 当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少,则在时有极小值, 所以, 函数的单调递减区间为（-1，0）.……………… 6分 （Ⅱ）.令，则。 若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.     …………………9分 若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.   ……………11分 综合得的取值范围为   …………………12分 另解: （Ⅱ）当时，，即. ①当时，；                                  ………………7分 ②当时，等价于，也即. 记，，则.        …………8分 记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.                                 …………………9分 由洛必达法则有 ， 即当时， 所以，即有.                            ……………11分 综上①、②所述，的取值范围为           …………………12分 20. （本小题满分10分）   化简(I)       (Ⅱ) 。 参考答案： （1）;        ………5分 （2）.                ………10分 21. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，过点的直线l的参数方程