2022-2023学年安徽省合肥市凤凰桥中学高一数学理联考试卷含解析

2022-2023学年安徽省合肥市凤凰桥中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是(　　) A．2πR2　　　　　　　　　                   B.πR2 C.πR2                                                    D.πR2 参考答案： B 略 2. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间[－3,7]上所有零点之和为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 参考答案： C 【分析】 根据函数的奇偶性和对称性，判断出函数的周期，由此画出的图像.由化简得，画出的图像，由与图像的交点以及对称性，求得函数在区间上所有零点之和. 【详解】由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点(2,0)对称，它们两个函数图像的4个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为. 故选:C. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3. 若集合，则有（    ）A．   B．   C．    D． 参考答案： A 略 4. 下列四个几何体中, 每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是(　　) A. ①②  B. ①③ C. ③④  D. ②④ 参考答案： D 5. 函数的定义域为,则实数的取值范围是（   ） A.                  B.                   C.                 D. 参考答案： B 考点：1、函数的定义域，2、不等式恒成立． 【方法点睛】已知函数解析式求函数的定义域：如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域．主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于，（6）三角函数中的正切函数等．本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题． 6. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（  ）          A．                                                          B．                          C．                                                            D． 参考答案： D 略 7. 若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 8. 设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝ (n∈N*)， 则＝(　　) （A）　     （B）        （C）        （D） 参考答案： D = 9. 下列四个数中，数值最小的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 将四个选项中的数均转化为十进制的数，比较即可得到答案． 【详解】由题意，对于A中，； 对于B中，； 对于C中，； 对于D中，， 故选C． 【点睛】本题主要考查了其它进制与十进制的转化，其中解答中熟练掌握其它进制与十进制的之间的转化发展史解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10. 下列叙述中，正确的个数是 ①集合中最小的数是1； ②若－aN，则a∈N； ③若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值是2； ④方程x2－4x＝－4的解集是{2，2}． [　　] A．0个     B．1个     C．2个    D．3个 参考答案： A 解析:本题考查集合与元素之间的关系，①没有说清楚是什么数集合，故错；②可举例说明：a＝，则－a＝N，但a＝N故错；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1≠2，故错；④方程解集是{2} 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则函数的值域是               . 参考答案： 12. 如图是 一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中， ①AB与CD相交；②MN∥PQ；③AB∥PE； ④MN与CD异面；⑤MN∥平面PQC. 所给关系判断正确的是_____． 参考答案： ①②④⑤ 13. 方程的实数解的个数为    。 参考答案： 2 略 14. 如果幂函数的图象不过原点，则实数m的值是    ▲    ． 参考答案： 15. 参考答案： 0 略 16. 使得函数的值域为的实数对有_______对. 参考答案： 2 略 17. 已知非零向量满足，则_________________； 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+cos2x﹣sin2x﹣1（x∈R） （1）求函数y=f（x）的单调递增区间； （2）若x∈，求f（x）的值域． 参考答案： 考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用倍角公式、两角和的正弦化简． （1）直接利用复合函数的单调性求得函数y=f（x）的单调递增区间； （2）由x得范围，求得相位的范围，然后可得f（x）的值域． 解答： 解：f（x）=2sinx?cosx+cos2x﹣sin2x﹣1 == =． （1）由，得． ∴函数y=f（x）的单调递增区间为； （2）当x∈时，， 则f（x）∈． 点评： 本题考查了倍角公式、两角和的正弦，考查了与三角函数有关的简单的复合函数的单调性，考查了三角函数值域的求法，是基础题． 19. 如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）． （Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量； （Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值． 参考答案： 【分析】（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则F为AD中点，用表示出，利用三角形法则即可得出结论； （II）根据（I）得出的表达式，两边平方得出关于λ的二次函数，根据二次函数的性质求出最值． 【解答】解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F， 则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点， ∴===﹣=﹣， λ=时，， ∴==++﹣=+． （II）∵=λ，∴ =（1﹣λ）， ∴==（1﹣λ）++﹣=（）+， ∵=2tcos60°=t， =t2， =4， ∴2=（）2t2++（）t=[（）t+]2+， ∴当（﹣λ）t=﹣时即λ=+时， 2取得最小值． ∴的最小值为，此时λ=+． 　 20. 已知函数． （1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值； （2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值． 【分析】（1）根据3x+1=3?3x，可将方程f（x）=3x转化为一元二次方程：3?（3x）2+2?3x﹣1=0，再根据指数函数范围可得，解得x=﹣1， （2）先根据函数奇偶性确定a，b值：a=1，b=3，再利用单调性定义确定其单调性：在R上递减．最后根据单调性转化不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）为t2﹣2t＞2t2﹣k即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解，根据判别式大于零可得k的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，当a=b=1时，，化简得3?（3x）2+2?3x﹣1=0 解得，所以x=﹣1． （2）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）=0， 所以化简并变形得：（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0 要使上式对任意的x成立，则3a﹣b=0且2ab﹣6=0解得：， 因为f（x）的定义域是R，所以舍去， 所以a=1，b=3，所以， ① 对任意x1，x2∈R，x1＜x2有： 因为x1＜x2，所以，所以f（x1）＞f（x2）， 因此f（x）在R上递减．因为f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k），所以t2﹣2t＞2t2﹣k， 即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解 所以△=4+4t＞0，解得：t＞﹣1， 所以k的取值范围为（﹣1，+∞） 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 21. （本小题满分12分） 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°. （1）求A、C两地的距离； （2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)   参考答案： 解：（1）由题意，设AC＝x， 则BC＝x－×340＝x－40.                                      ……………2分 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC，                        ……………4分 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.                       ……………6分 ∴A、C两地间的距离为420m.                              ……………7分 （2）在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°， 所以CH＝AC×tan∠CAH＝140.                               ……………10分 答:　该仪器的垂直弹射高度CH为140米．                     ……………12分     22. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当x∈M时，求的值域. 参考答案： （1）由题意，……………………………………2分 ………………………………………………………………5分 （2）令，因为，所以……………………………………7分 的值域可以求变为的值域 易知，……………………………………………………………………10分 故g(x)的值域为[0,9].………………………………………………………………12分